中册 4.2 定积分计算 第27题
📝 题目
27．求下列积分．
（1） $\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：记 $I(m, n)=\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，则
$$
\begin{aligned}
I(m, n) & =\frac{1}{m+1} \int_{0}^{1}(1-x)^{n} \mathrm{~d}\left(x^{m+1}\right)=\left.\frac{1}{m+1} x^{m+1}(1-x)^{n}\right|_{0} ^{1}+\frac{n}{m+1} \int_{0}^{1} x^{m+1}(1-x)^{n-1} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{n}{m+1} \int_{0}^{1} x^{m+1}(1-x)^{n-1} \mathrm{~d} x=\frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)
\end{aligned}
$$
从而
$$
\begin{aligned}
I(m, n) & =\frac{n}{m+1} I(m+1, n-1)=\frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} I(m+2, n-2) \\
& =\cdots=\frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} \cdot I(m+n, 0)
\end{aligned}
$$
而 $\displaystyle I(m+n, 0)=\int_{0}^{1} x^{m+n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{m+n+1}$ ，所以
$$
\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\frac{n}{m+1} \cdot \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} \cdot \frac{1}{m+n+1}=\frac{n!m!}{(m+n+1)!}
$$
方法 2： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} x^{m+1-1}(1-x)^{n+1-1} \mathrm{~d} x=\mathrm{B}(m+1, n+1)=\frac{\Gamma(m+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}=\frac{n!m!}{(m+n+1)!}$ ．
（2）方法 1： $\int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{1}(1-x-1)(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$
$$
=-\int_{0}^{1}\left[(1-x)^{2006}-(1-x)^{2007}\right] \mathrm{d}(1-x)=\frac{1}{2007}-\frac{1}{2008}
$$
方法 2： $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x=\mathrm{B}(2,2007)=\frac{\Gamma(2) \Gamma(2007)}{\Gamma(2009)}=\frac{2006!}{2008!}=\frac{1}{2007 \cdot 2008}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入记号并分部积分
记 $I(m,n)=\int_0^1 x^m (1-x)^n dx$，应用分部积分公式：令 $u=(1-x)^n$, $dv=x^m dx$，则 $du=-n(1-x)^{n-1}dx$, $v=\frac{x^{m+1}}{m+1}$。于是
$$I(m,n)=\left.\frac{x^{m+1}(1-x)^n}{m+1}\right|_0^1 + \frac{n}{m+1}\int_0^1 x^{m+1}(1-x)^{n-1}dx = \frac{n}{m+1} I(m+1,n-1).$$
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意边界项为零，因为 $x=0$ 时 $x^{m+1}=0$，$x=1$ 时 $(1-x)^n=0$。
步骤 2/6
目标：递推关系
重复应用递推关系：
$$I(m,n)=\frac{n}{m+1}I(m+1,n-1)=\frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}I(m+2,n-2)=\cdots$$
提示：注意每次递推时 $m$ 增加1，$n$ 减少1，直到 $n=0$。
步骤 3/6
目标：递推至 $n=0$
递推 $n$ 次后得到：
$$I(m,n)=\frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdots\frac{1}{m+n} I(m+n,0).$$
提示：确保递推次数正确，共 $n$ 次。
步骤 4/6
目标：计算 $I(m+n,0)$
当 $n=0$ 时，$I(m+n,0)=\int_0^1 x^{m+n} dx = \frac{1}{m+n+1}$。
公式：$\int_0^1 x^p dx = \frac{1}{p+1}$
提示：注意积分限为0到1，直接使用幂函数积分公式。
步骤 5/6
目标：化简为阶乘形式
将乘积写成阶乘形式：
$$\frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdots\frac{1}{m+n}\cdot\frac{1}{m+n+1} = \frac{n! m!}{(m+n+1)!}.$$
公式：$n! = n(n-1)\cdots1$, $m! = m(m-1)\cdots1$, $(m+n+1)! = (m+n+1)(m+n)\cdots1$
提示：注意分子分母约分后得到 $\frac{n! m!}{(m+n+1)!}$。
步骤 6/6
目标：第二问：直接代入或变形
方法1：令 $t=1-x$，则 $x=1-t$, $dx=-dt$，积分变为
$$\int_0^1 x(1-x)^{2006}dx = \int_1^0 (1-t)t^{2006}(-dt) = \int_0^1 (t^{2006}-t^{2007})dt = \frac{1}{2007}-\frac{1}{2008}.$$
方法2：利用第一问结果，$m=1,n=2006$，得
$$\frac{1!2006!}{(1+2006+1)!} = \frac{2006!}{2008!} = \frac{1}{2007\cdot2008}.$$
公式：$\int_0^1 x^p dx = \frac{1}{p+1}$
提示：注意换元时积分限的变化，以及 $\frac{2006!}{2008!} = \frac{1}{2007\cdot2008}$。
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