中册 4.2 定积分计算 第28题
📝 题目
28．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续，$a>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $f(x)$ 是连续函数，证明： $\displaystyle \int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=x^{-1}$ ，则 $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{a}^{\frac{1}{a}} f\left(\frac{1}{t}\right) \cdot \frac{1}{t^{2}} \mathrm{~d} t=\int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 。从而
$$
\int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x
$$
（2）令 $x^{2}=t$ ，则
$$
\begin{gathered}
\int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{\mathrm{d} x}{x}=\int_{1}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d}(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}=\int_{1}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{2 \sqrt{t} \sqrt{t}}=\frac{1}{2} \int_{1}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t} . \\
\int_{1}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t}=\int_{1}^{a} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t}+\int_{a}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t}
\end{gathered}
$$
令 $\displaystyle y=\frac{a^{2}}{t}$ ，则 $\displaystyle \quad \int_{a}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t}=\int_{a}^{1} f\left(\frac{a^{2}}{y}+y\right)(-1) \frac{1}{y} \mathrm{~d} y=\int_{1}^{a} f\left(\frac{a^{2}}{y}+y\right) \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ ．
于是
$$
\int_{1}^{a^{2}} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t}=2 \int_{1}^{a} f\left(t+\frac{a^{2}}{t}\right) \frac{\mathrm{d} t}{t}=2 \int_{1}^{a} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{\mathrm{d} x}{x} .
$$
所以
$$
\int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{\mathrm{d} x}{x}=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{\mathrm{d} x}{2 x}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明等式（1）
令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$，$\mathrm{d}x = -\frac{1}{t^2} \mathrm{d}t$。当 $x = \frac{1}{a}$ 时，$t = a$；当 $x = a$ 时，$t = \frac{1}{a}$。因此，
$$
\int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d}x = \int_{a}^{\frac{1}{a}} f\left(\frac{1}{t}\right) \left(-\frac{1}{t^2}\right) \mathrm{d}t = \int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{t^2} f\left(\frac{1}{t}\right) \mathrm{d}t.
$$
将变量 $t$ 换回 $x$，得
$$
\int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d}x = \int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x.
$$
公式：换元积分法：$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \phi'(t) \mathrm{d}t$
提示：注意换元时积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 2/6
目标：推导等式（1）的结论
由第一步得到的等式，将原积分与变换后的积分相加，得
$$
2 \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d}x = \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d}x + \int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x = \int_{\frac{1}{a}}^{a} \left( f(x) + \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) \right) \mathrm{d}x.
$$
两边除以2，即得
$$
\int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a} \left( f(x) + \frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right) \right) \mathrm{d}x.
$$
提示：注意对称性，将两个积分相加后除以2。
步骤 3/6
目标：证明等式（2）的第一步换元
令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{2\sqrt{t}} \mathrm{d}t$，且 $\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{t}}$。当 $x=1$ 时，$t=1$；当 $x=a$ 时，$t=a^2$。因此，
$$
\int_{1}^{a} f\left(x^2 + \frac{a^2}{x^2}\right) \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \int_{1}^{a^2} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{1}^{a^2} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t.
$$
公式：换元积分法
提示：注意 $\frac{1}{x} \mathrm{d}x$ 的替换：$\frac{1}{x} \mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} \mathrm{d}t = \frac{1}{2t} \mathrm{d}t$。
步骤 4/6
目标：将积分区间拆分为两部分
将积分区间 $[1, a^2]$ 拆分为 $[1, a]$ 和 $[a, a^2]$，得
$$
\frac{1}{2} \int_{1}^{a^2} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left( \int_{1}^{a} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t + \int_{a}^{a^2} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t \right).
$$
提示：拆分区间时注意上下限。
步骤 5/6
目标：对第二部分积分进行换元
令 $y = \frac{a^2}{t}$，则 $t = \frac{a^2}{y}$，$\mathrm{d}t = -\frac{a^2}{y^2} \mathrm{d}y$，且 $\frac{1}{t} = \frac{y}{a^2}$。当 $t = a$ 时，$y = a$；当 $t = a^2$ 时，$y = 1$。因此，
$$
\int_{a}^{a^2} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \int_{a}^{1} f\left(\frac{a^2}{y} + y\right) \frac{y}{a^2} \cdot \left(-\frac{a^2}{y^2}\right) \mathrm{d}y = \int_{1}^{a} f\left(y + \frac{a^2}{y}\right) \frac{1}{y} \mathrm{d}y.
$$
公式：换元积分法
提示：注意负号导致积分限反转，以及 $\frac{1}{t} \mathrm{d}t$ 的化简。
步骤 6/6
目标：合并两部分得到最终结果
将第二步和第三步的结果代入，得
$$
\frac{1}{2} \left( \int_{1}^{a} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t + \int_{1}^{a} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{1}^{a} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \int_{1}^{a} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t.
$$
但注意原题要证明的是 $\int_{1}^{a} f\left(x^2 + \frac{a^2}{x^2}\right) \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \int_{1}^{a^2} f\left(x + \frac{a^2}{x}\right) \frac{1}{2x} \mathrm{d}x$。实际上，由第一步我们已经得到左边等于 $\frac{1}{2} \int_{1}^{a^2} f\left(t + \frac{a^2}{t}\right) \frac{1}{t} \mathrm{d}t$，而右边正是 $\int_{1}^{a^2} f\left(x + \frac{a^2}{x}\right) \frac{1}{2x} \mathrm{d}x$，因此等式成立。
提示：注意区分变量符号，最终结果中积分变量可任意命名。
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