中册 4.2 定积分计算 第33题
📝 题目
33．求函数表达式．
（1）已知 $f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $f(x)$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，且 $f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $f(x)$ ．
（3）已知 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $f(x)$ 的值．
（4）设 $f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$ 。
（5）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，$f(1)=3$ ．若 $f(x)$ 的反函数 $\varphi(x)$ 满足 $\int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $f(x)$ ．
（6）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=a$ ，则 $f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 a$ ．于是
$$
a=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x+2 a=1-2 \mathrm{e}^{-1}+2 a
$$
由此得 $a=2 \mathrm{e}^{-1}-1$ ．所以 $f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+4 \mathrm{e}^{-1}-2$ ．
（2）设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=a$ ，则 $f(x)=1+a x$ ．于是
$$
a=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1+\int_{0}^{1} a x \mathrm{~d} x=1+\frac{a}{2} .
$$
由此得 $a=2$ ．所以 $f(x)=1+2 x$ ．
（3）$f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=x^{2}-x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-x \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=a$ ，则 $f(x)=x^{2}-a x-x \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 a$ ．于是
$$
\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x-a \int_{1}^{2} x \mathrm{~d} x-\int_{1}^{2} x \mathrm{~d} x \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 a
$$
化简得 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=-a-\frac{14}{3}$ ．因此 $\displaystyle f(x)=x^{2}+\frac{14}{3} x+2 a$ ．
又 $\displaystyle a=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x+\frac{14}{3} \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x+2 a$ ，所以 $\displaystyle a=-\frac{8}{3}$ ．故 $\displaystyle f(x)=x^{2}+\frac{14}{3} x-\frac{16}{3}$ ．
（4）$f^{2}(x)=9 x^{2}-6 x \sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\left(1-x^{2}\right)\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．
令 $a=\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，上式两边在 $(0,1)$ 上积分得
$$
a=\int_{0}^{1} 9 x^{2} \mathrm{~d} x-6 a \int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x+a^{2} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left.3 x^{3}\right|_{0} ^{1}+\left.2 a\left(1-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{1}+\left.a^{2}\left(x-\frac{1}{3} x^{3}\right)\right|_{0} ^{1}=3-2 a+\frac{2}{3} a^{2} .
$$
所以 $\displaystyle a=\frac{3}{2}$ ，或 $a=3$ ．所以 $\displaystyle f(x)=3 x-\frac{3}{2} \sqrt{1-x^{2}}$ 或 $f(x)=3 x-3 \sqrt{1-x^{2}}$ ．
（5）在 $\int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ 两边求导得
故
$$
\begin{gathered}
\varphi(f(\ln x+1)) \cdot f^{\prime}(\ln x+1) \cdot \frac{1}{x}=1+\ln x \\
f^{\prime}(\ln x+1)=x
\end{gathered}
$$
令 $t=1+\ln x$ ，则 $f^{\prime}(t)=\mathrm{e}^{t-1}$ ，故 $f(t)=\mathrm{e}^{t-1}+C$ 。又 $f(1)=3$ ，所以 $C=2$ ，于是 $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}+2$ ．
（6）方程两边对 $x$ 求导得
整理得
$$
x f(x)=\frac{1}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\frac{x}{3} f(x)
$$
$$
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=2 x f(x)
$$
两边继续对 $x$ 求导得
$$
f(x)=2 f(x)+2 x f^{\prime}(x)
$$
于是 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\frac{1}{2 x}$ ．解此微分方程得 $\displaystyle f(x)=\frac{C}{\sqrt{x}}$（ $C$ 为常数）．
若 $C \neq 0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 不存在，这与 $f(x)$ 在 $x=0$ 处右连续矛盾，所以 $C=0$ ，从而 $f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设未知常数为积分值
设 $a = \int_0^1 f(t) \, dt$，则原方程化为 $f(x) = x e^{-x} + 2a$。
提示：注意积分变量与自变量区分，积分结果是常数。
步骤 2/4
目标：对等式两边积分建立方程
对 $f(x) = x e^{-x} + 2a$ 两边在 $[0,1]$ 上积分：$a = \int_0^1 x e^{-x} \, dx + 2a$。计算 $\int_0^1 x e^{-x} \, dx = 1 - 2e^{-1}$，代入得 $a = 1 - 2e^{-1} + 2a$。
公式：$\int_0^1 x e^{-x} \, dx = 1 - 2e^{-1}$
提示：分部积分时注意符号，$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$。
步骤 3/4
目标：解出常数a
由 $a = 1 - 2e^{-1} + 2a$ 解得 $a = 2e^{-1} - 1$。
提示：移项时注意符号，$a - 2a = -a$。
步骤 4/4
目标：写出f(x)表达式
将 $a = 2e^{-1} - 1$ 代入 $f(x) = x e^{-x} + 2a$，得 $f(x) = x e^{-x} + 4e^{-1} - 2$。
提示：最终结果化简，$2a = 4e^{-1} - 2$。
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