中册 4.2 定积分计算 第34题
📝 题目
34．求函数值．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上二阶连续可导，且 $f(\pi)=2$ ，满足 $\int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x=5$ 。试计算 $f(0)$的值．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 二二阶连续可导，$f^{\prime}(\pi)=3, \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x=2$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
& \text { (1) } \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x \\
& =\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d}(-\cos x)+\int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} f^{\prime}(x) \\
& =\left.(-f(x) \cos x)\right|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \cos x \mathrm{~d} x+\left.\left(f^{\prime}(x) \sin x\right)\right|_{0} ^{\pi}-\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \cos x \mathrm{~d} x=f(0)+f(\pi)
\end{aligned}
$$
由假设条件得 $f(0)=5-f(\pi)=3$ ．
（2） $\int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x$
$$
=\left.(f(x) \sin x)\right|_{0} ^{\pi}-\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \sin x \mathrm{~d} x+\left.\left(f^{\prime}(x) \cos x\right)\right|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} f^{\prime}(x) \sin x \mathrm{~d} x=-f^{\prime}(\pi)-f^{\prime}(0)=2
$$
故 $f^{\prime}(0)=-2-f^{\prime}(\pi)=-2-3=-5$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分部积分处理第一项
将积分拆分为两部分：
$$\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx + \int_{0}^{\pi} f''(x) \sin x \, dx$$
对第一项使用分部积分，令 $u=f(x)$, $dv=\sin x \, dx$，则 $du=f'(x)\,dx$, $v=-\cos x$，得
$$\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx = \left. -f(x) \cos x \right|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \, dx$$
公式：分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意符号：$\int \sin x \, dx = -\cos x$，代入上下限时小心负号。
步骤 2/8
目标：分部积分处理第二项
对第二项 $\int_{0}^{\pi} f''(x) \sin x \, dx$ 使用分部积分，令 $u=\sin x$, $dv=f''(x)\,dx$，则 $du=\cos x \, dx$, $v=f'(x)$，得
$$\int_{0}^{\pi} f''(x) \sin x \, dx = \left. f'(x) \sin x \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \, dx$$
公式：分部积分公式
提示：注意 $\sin 0 = 0$, $\sin \pi = 0$，所以边界项可能为零。
步骤 3/8
目标：合并两项积分
将两个分部积分结果相加：
$$\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx + \int_{0}^{\pi} f''(x) \sin x \, dx = \left( -f(x) \cos x \big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \, dx \right) + \left( f'(x) \sin x \big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \, dx \right)$$
注意到 $\int_{0}^{\pi} f'(x) \cos x \, dx$ 项相消，得到
$$= -f(x) \cos x \big|_{0}^{\pi} + f'(x) \sin x \big|_{0}^{\pi}$$
提示：注意积分项相消，简化计算。
步骤 4/8
目标：计算边界项
计算边界值：
$$-f(x) \cos x \big|_{0}^{\pi} = -[f(\pi)\cos\pi - f(0)\cos 0] = -[f(\pi)(-1) - f(0)\cdot 1] = f(\pi) + f(0)$$
$$f'(x) \sin x \big|_{0}^{\pi} = f'(\pi)\sin\pi - f'(0)\sin 0 = 0 - 0 = 0$$
因此原积分等于 $f(0) + f(\pi)$。
提示：注意 $\cos\pi = -1$, $\cos 0 = 1$, $\sin\pi = \sin 0 = 0$。
步骤 5/8
目标：代入已知条件求 $f(0)$
已知 $\int_{0}^{\pi} (f(x)+f''(x))\sin x \, dx = 5$，且 $f(\pi)=2$，所以
$$f(0) + f(\pi) = 5 \Rightarrow f(0) + 2 = 5 \Rightarrow f(0) = 3$$
提示：直接代入数值，注意符号。
步骤 6/8
目标：处理第二问的积分
对于第二问，计算 $\int_{0}^{\pi} (f(x)+f''(x))\cos x \, dx$。拆分为两部分：
$$\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \, dx + \int_{0}^{\pi} f''(x) \cos x \, dx$$
对第一项分部积分，令 $u=f(x)$, $dv=\cos x \, dx$，得 $du=f'(x)\,dx$, $v=\sin x$，则
$$\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \, dx = \left. f(x) \sin x \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} f'(x) \sin x \, dx$$
公式：分部积分公式
提示：注意 $\int \cos x \, dx = \sin x$。
步骤 7/8
目标：分部积分第二项并合并
对第二项 $\int_{0}^{\pi} f''(x) \cos x \, dx$ 分部积分，令 $u=\cos x$, $dv=f''(x)\,dx$，得 $du=-\sin x \, dx$, $v=f'(x)$，则
$$\int_{0}^{\pi} f''(x) \cos x \, dx = \left. f'(x) \cos x \right|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} f'(x) \sin x \, dx$$
将两项相加，$\int_{0}^{\pi} f'(x) \sin x \, dx$ 相消，得到
$$\int_{0}^{\pi} (f(x)+f''(x))\cos x \, dx = f(x) \sin x \big|_{0}^{\pi} + f'(x) \cos x \big|_{0}^{\pi}$$
提示：注意第二项分部积分时 $du = -\sin x \, dx$，所以减号变加号。
步骤 8/8
目标：计算边界并求 $f'(0)$
计算边界：
$$f(x) \sin x \big|_{0}^{\pi} = f(\pi)\sin\pi - f(0)\sin 0 = 0 - 0 = 0$$
$$f'(x) \cos x \big|_{0}^{\pi} = f'(\pi)\cos\pi - f'(0)\cos 0 = f'(\pi)(-1) - f'(0)\cdot 1 = -f'(\pi) - f'(0)$$
已知 $\int_{0}^{\pi} (f(x)+f''(x))\cos x \, dx = 2$ 且 $f'(\pi)=3$，所以
$$-f'(\pi) - f'(0) = 2 \Rightarrow -3 - f'(0) = 2 \Rightarrow f'(0) = -5$$
提示：注意 $\cos\pi = -1$, $\cos 0 = 1$，代入时小心负号。
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