中册 4.2 定积分计算 第35题
📝 题目
35．求下列积分．
（1）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=x-2$ ，则
$$
\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{-1}^{0}\left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=\left.\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{-1} ^{0}-\left.\mathrm{e}^{-x}\right|_{0} ^{1}=\frac{7}{3}-\mathrm{e}^{-1}
$$
（2）令 $\displaystyle \frac{\ln x}{2}=t$ ，则 $x=\mathrm{e}^{2 t}$ ，即 $f(t)=\mathrm{e}^{t}, f(x)=\mathrm{e}^{x}$ 。故
$$
f(g(x))=\mathrm{e}^{g(x)}=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}
$$
所以 $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (1+x)}{x^{2}}$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x & =\int_{1}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\int_{1}^{2} \ln (1+x) \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=-\left.\frac{\ln (1+x)}{x}\right|_{1} ^{2}+\int_{1}^{2} \frac{1}{x(1+x)} \mathrm{d} x \\
& =\ln 2-\frac{\ln 3}{2}+\left.\ln \frac{x}{1+x}\right|_{1} ^{2}=3 \ln 2-\frac{3}{2} \ln 3 .
\end{aligned}
$$
（3）令 $t=x-1$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x & =\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{-1}^{0} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{-1}^{0} \frac{\mathrm{e}^{t}}{1+\mathrm{e}^{t}} \mathrm{~d} t+\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} \mathrm{~d} t \\
& =\left.\ln \left(1+\mathrm{e}^{t}\right)\right|_{-1} ^{0}+\left.\ln (1+t)\right|_{0} ^{1}=2 \ln 2-\ln \left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/16
目标：换元积分，将f(x-2)转化为f(t)
令 $t = x - 2$，则当 $x=1$ 时 $t=-1$，当 $x=3$ 时 $t=1$，$\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$。于是原积分化为 $\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d}t$。
公式：换元公式：$\int_a^b f(x-2) \mathrm{d}x = \int_{a-2}^{b-2} f(t) \mathrm{d}t$
提示：注意换元时积分上下限的对应关系，不要忘记改变积分限。
步骤 2/16
目标：分段积分
由于 $f(t)$ 在 $t \leq 0$ 和 $t > 0$ 表达式不同，将积分区间 $[-1,1]$ 分为 $[-1,0]$ 和 $[0,1]$：
$$\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-1}^{0} (1+t^2) \mathrm{d}t + \int_{0}^{1} e^{-t} \mathrm{d}t.$$
提示：分段函数积分时，注意分段点处函数值的连续性，这里分段点 $t=0$ 属于第一段（$x \leq 0$），但积分时开闭区间不影响结果。
步骤 3/16
目标：计算第一段积分
计算 $\int_{-1}^{0} (1+t^2) \mathrm{d}t = \left[ t + \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^{0} = (0) - \left( -1 + \frac{-1}{3} \right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$。
公式：$\int (1+t^2) \mathrm{d}t = t + \frac{t^3}{3} + C$
提示：代入上下限时注意符号，$(-1)^3 = -1$，不要算错。
步骤 4/16
目标：计算第二段积分
计算 $\int_{0}^{1} e^{-t} \mathrm{d}t = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1}$。
公式：$\int e^{-t} \mathrm{d}t = -e^{-t} + C$
提示：注意 $e^{-t}$ 的原函数是 $-e^{-t}$，代入上下限时小心负号。
步骤 5/16
目标：合并结果
将两部分相加：$\frac{4}{3} + (1 - e^{-1}) = \frac{7}{3} - e^{-1}$。
提示：最终结果化简为分数形式，注意 $e^{-1}$ 保留为指数形式。
步骤 6/16
目标：换元求f(x)表达式
令 $\frac{\ln x}{2} = t$，则 $x = e^{2t}$，代入 $f\left(\frac{\ln x}{2}\right) = \sqrt{x}$ 得 $f(t) = \sqrt{e^{2t}} = e^{t}$，所以 $f(x) = e^{x}$。
公式：反函数换元：若 $u = \varphi(x)$，则 $x = \varphi^{-1}(u)$
提示：注意 $\sqrt{x} = x^{1/2}$，而 $x = e^{2t}$，所以 $\sqrt{x} = e^{t}$。
步骤 7/16
目标：求g(x)表达式
由 $f(g(x)) = e^{g(x)} = (1+x)^{1/x^2}$，两边取自然对数得 $g(x) = \frac{\ln(1+x)}{x^2}$。
公式：指数与对数互化：$e^{A} = B \Rightarrow A = \ln B$
提示：注意定义域 $x>0$，$\ln(1+x)$ 有意义。
步骤 8/16
目标：分部积分计算积分
计算 $\int_{1}^{2} \frac{\ln(1+x)}{x^2} \mathrm{d}x$。令 $u = \ln(1+x)$，$\mathrm{d}v = \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x$，$v = -\frac{1}{x}$。由分部积分公式：
$$\int_{1}^{2} u \mathrm{d}v = uv\big|_{1}^{2} - \int_{1}^{2} v \mathrm{d}u = \left. -\frac{\ln(1+x)}{x} \right|_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x(1+x)} \mathrm{d}x.$$
公式：分部积分：$\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$
提示：注意 $\mathrm{d}v$ 的选取，$\frac{1}{x^2}$ 的原函数是 $-\frac{1}{x}$，不要忘记负号。
步骤 9/16
目标：计算边界项
计算 $\left. -\frac{\ln(1+x)}{x} \right|_{1}^{2} = -\frac{\ln 3}{2} - \left( -\frac{\ln 2}{1} \right) = \ln 2 - \frac{\ln 3}{2}$。
提示：代入上下限时，注意 $x=1$ 时 $\ln(1+1)=\ln 2$，$x=2$ 时 $\ln 3$。
步骤 10/16
目标：计算剩余积分
计算 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x(1+x)} \mathrm{d}x$。利用部分分式：$\frac{1}{x(1+x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}$，则积分 $= \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) \mathrm{d}x = \left[ \ln x - \ln(1+x) \right]_{1}^{2} = \left. \ln \frac{x}{1+x} \right|_{1}^{2} = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{4}{3}$。
公式：部分分式：$\frac{1}{x(1+x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}$
提示：注意对数运算：$\ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \left( \frac{2}{3} \cdot 2 \right) = \ln \frac{4}{3}$。
步骤 11/16
目标：合并结果
将两部分相加：$\left( \ln 2 - \frac{\ln 3}{2} \right) + \ln \frac{4}{3} = \ln 2 - \frac{\ln 3}{2} + \ln 4 - \ln 3 = \ln 2 + 2\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3 = 3\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3$。
提示：注意 $\ln 4 = 2\ln 2$，合并同类项。
步骤 12/16
目标：换元积分
令 $t = x-1$，则当 $x=0$ 时 $t=-1$，当 $x=2$ 时 $t=1$，$\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$。原积分化为 $\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d}t$。
公式：换元公式：$\int_a^b f(x-1) \mathrm{d}x = \int_{a-1}^{b-1} f(t) \mathrm{d}t$
提示：注意积分限变换。
步骤 13/16
目标：分段积分
由于 $f(t)$ 在 $t \geq 0$ 和 $t < 0$ 表达式不同，将积分区间 $[-1,1]$ 分为 $[-1,0]$ 和 $[0,1]$：
$$\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d}t = \int_{-1}^{0} \frac{e^t}{1+e^t} \mathrm{d}t + \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t.$$
提示：注意分段点 $t=0$ 属于第二段（$x \geq 0$），但积分时开闭区间不影响。
步骤 14/16
目标：计算第一段积分
计算 $\int_{-1}^{0} \frac{e^t}{1+e^t} \mathrm{d}t$。令 $u = 1+e^t$，则 $\mathrm{d}u = e^t \mathrm{d}t$，当 $t=-1$ 时 $u=1+e^{-1}$，当 $t=0$ 时 $u=2$，积分 $= \int_{1+e^{-1}}^{2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u = \left. \ln u \right|_{1+e^{-1}}^{2} = \ln 2 - \ln(1+e^{-1})$。
公式：换元积分：$\int \frac{e^t}{1+e^t} \mathrm{d}t = \ln(1+e^t) + C$
提示：注意换元后积分限的变化，或者直接使用原函数 $\ln(1+e^t)$。
步骤 15/16
目标：计算第二段积分
计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t = \left. \ln(1+t) \right|_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$。
公式：$\int \frac{1}{1+t} \mathrm{d}t = \ln|1+t| + C$
提示：注意 $\ln 1 = 0$。
步骤 16/16
目标：合并结果
将两部分相加：$\left( \ln 2 - \ln(1+e^{-1}) \right) + \ln 2 = 2\ln 2 - \ln(1+e^{-1})$。
提示：最终结果保留为对数形式，注意 $\ln(1+e^{-1})$ 不能进一步化简。
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