中册 4.2 定积分计算 第36题
📝 题目
36．设 $f(x)$ 在 $\left[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}\right]$ 上连续．证明：
$$
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda .
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $\theta+\varphi=\lambda$ ，则
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta & =\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\theta+\varphi)\right) \mathrm{d} \theta=\int_{\varphi}^{2 \pi+\varphi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda \\
& =\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda=\int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda+\int_{\pi}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda
\end{aligned}
$$
令 $\lambda=2 \pi-\theta$ ，则
$$
\int_{\pi}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda=-\int_{\pi}^{0} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \theta\right) \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \theta\right) \mathrm{d} \theta .
$$
所以 $\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda$ ，其中 $\displaystyle \sin \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将线性组合化为单一余弦函数
设 $\varphi$ 满足 $\sin\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，则 $a\cos\theta + b\sin\theta = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi)$。因此原积分化为 $\int_0^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi))\,d\theta$。
公式：$a\cos\theta + b\sin\theta = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\varphi)$
提示：注意辅助角公式中符号的确定，确保 $\varphi$ 满足 $\sin\varphi = a/\sqrt{a^2+b^2}$，$\cos\varphi = b/\sqrt{a^2+b^2}$。
步骤 2/5
目标：变量代换简化积分
令 $\lambda = \theta - \varphi$，则 $d\lambda = d\theta$，积分限变为 $\lambda$ 从 $-\varphi$ 到 $2\pi - \varphi$。由于被积函数周期为 $2\pi$，积分区间长度 $2\pi$，故积分值等于 $\int_0^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda$。
公式：$\int_{-\varphi}^{2\pi-\varphi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda = \int_0^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda$
提示：利用周期函数的积分性质：周期函数在长度等于周期的区间上积分与起点无关。
步骤 3/5
目标：将积分区间拆分为两段
将 $[0,2\pi]$ 拆分为 $[0,\pi]$ 和 $[\pi,2\pi]$，即 $\int_0^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda = \int_0^\pi f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda + \int_\pi^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda$。
提示：注意积分区间端点不要遗漏。
步骤 4/5
目标：对第二段积分进行变量代换
令 $\lambda = 2\pi - \theta$，则 $d\lambda = -d\theta$，当 $\lambda = \pi$ 时 $\theta = \pi$，当 $\lambda = 2\pi$ 时 $\theta = 0$。于是 $\int_\pi^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda = \int_\pi^0 f(\sqrt{a^2+b^2}\cos(2\pi-\theta))(-d\theta) = \int_0^\pi f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta)\,d\theta$，其中 $\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta$。
公式：$\cos(2\pi-\theta)=\cos\theta$
提示：注意代换后积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 5/5
目标：合并两段积分得到结果
由前两步，$\int_0^{2\pi} f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda = \int_0^\pi f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda + \int_0^\pi f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta)\,d\theta = 2\int_0^\pi f(\sqrt{a^2+b^2}\cos\lambda)\,d\lambda$。将变量名统一为 $\lambda$，即得原等式。
提示：注意积分变量名称可任意替换，最终结果与变量名无关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。