中册 4.2 定积分计算 第37题
📝 题目
37．证明或求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ 。证明：$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ ．求 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right), f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）令 $\displaystyle u=\frac{1}{t}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t=-\int_{1}^{x} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{u}\right)}{u} \mathrm{~d} u=-\int_{1}^{x} \frac{\ln (u+1)-\ln u}{u} \mathrm{~d} u$ 。于是
$$
f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t-\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+u)-\ln u}{u} \mathrm{~d} u=\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u} \mathrm{~d} u=\frac{1}{2}(\ln x)^{2} .
$$
（2）令 $\displaystyle u=\frac{1}{t}$ ，则
$$
f\left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t=\int_{1}^{x} \frac{\ln \left(\frac{1}{u}\right)}{1+\frac{1}{u}} \mathrm{~d}\left(\frac{1}{u}\right)=\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u+1} \frac{1}{u} \mathrm{~d} u=\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u} \mathrm{~d} u-\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u+1} \mathrm{~d} u=\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u} \mathrm{~d} u-f(x) .
$$
于是
$$
f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u} \mathrm{~d} u=\left.\frac{1}{2}(\ln u)^{2}\right|_{1} ^{x}=\frac{1}{2}(\ln x)^{2} .
$$
特别地，$\displaystyle f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \ln ^{2} 2$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目并设定变量
题目给出两个函数定义：
(1) $f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$，需证明 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$。
(2) $f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$，需求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 及 $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$。
提示：注意两个小题中 $f(x)$ 的定义不同，需分别处理。
步骤 2/8
目标：第一小题：对 $f(1/x)$ 作变量代换
令 $u=\frac{1}{t}$，则当 $t=1$ 时 $u=1$，当 $t=\frac{1}{x}$ 时 $u=x$，且 $\mathrm{d}t = -\frac{1}{u^2}\mathrm{d}u$。于是
$$f\left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\ln(1+t)}{t}\mathrm{d}t = \int_{1}^{x} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{u}\right)}{\frac{1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right)\mathrm{d}u = -\int_{1}^{x} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{u}\right)}{u}\mathrm{d}u.$$
公式：变量代换公式
提示：注意积分限的变化和负号的处理。
步骤 3/8
目标：第一小题：化简被积函数
利用对数性质：$\ln\left(1+\frac{1}{u}\right)=\ln\left(\frac{u+1}{u}\right)=\ln(u+1)-\ln u$。代入得
$$f\left(\frac{1}{x}\right) = -\int_{1}^{x} \frac{\ln(u+1)-\ln u}{u}\mathrm{d}u = -\int_{1}^{x} \frac{\ln(u+1)}{u}\mathrm{d}u + \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u.$$
公式：$\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$
提示：注意负号分配时不要出错。
步骤 4/8
目标：第一小题：求和并化简
将 $f(x)$ 与 $f(1/x)$ 相加：
$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1+t)}{t}\mathrm{d}t + \left(-\int_{1}^{x} \frac{\ln(1+u)}{u}\mathrm{d}u + \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u\right).$$
前两项抵消，得到
$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u.$$
提示：注意积分变量名称可任意，抵消时需确认积分限一致。
步骤 5/8
目标：第一小题：计算积分并得出结论
计算 $\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u$：令 $w=\ln u$，则 $\mathrm{d}w = \frac{1}{u}\mathrm{d}u$，积分限变为 $w(1)=0$，$w(x)=\ln x$，于是
$$\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u = \int_{0}^{\ln x} w \mathrm{d}w = \left.\frac{1}{2}w^2\right|_{0}^{\ln x} = \frac{1}{2}(\ln x)^2.$$
因此 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^2$，证毕。
公式：$\int w \mathrm{d}w = \frac{1}{2}w^2$
提示：换元时注意积分限的变换。
步骤 6/8
目标：第二小题：对 $f(1/x)$ 作变量代换
令 $u=\frac{1}{t}$，则 $t=\frac{1}{u}$，$\mathrm{d}t = -\frac{1}{u^2}\mathrm{d}u$，积分限：$t=1 \to u=1$，$t=\frac{1}{x} \to u=x$。于是
$$f\left(\frac{1}{x}\right)=\int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\ln t}{1+t}\mathrm{d}t = \int_{1}^{x} \frac{\ln\left(\frac{1}{u}\right)}{1+\frac{1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right)\mathrm{d}u = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(-\frac{1}{u^2}\right)\mathrm{d}u = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u+1} \cdot \frac{1}{u}\mathrm{d}u.$$
公式：变量代换
提示：注意符号的化简：两个负号抵消。
步骤 7/8
目标：第二小题：拆分被积函数
将 $\frac{\ln u}{u(u+1)}$ 拆分为 $\frac{\ln u}{u} - \frac{\ln u}{u+1}$，因为 $\frac{1}{u(u+1)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}$。于是
$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \left(\frac{\ln u}{u} - \frac{\ln u}{u+1}\right)\mathrm{d}u = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u - \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u+1}\mathrm{d}u.$$
公式：部分分式分解：$\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}$
提示：注意第二个积分正是 $f(x)$ 的定义（变量名不同），即 $\int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u+1}\mathrm{d}u = f(x)$。
步骤 8/8
目标：第二小题：求和并计算
因此
$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u - f(x).$$
移项得
$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u = \frac{1}{2}(\ln x)^2.$$
特别地，令 $x=2$，得 $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}(\ln 2)^2$。
公式：$\int \frac{\ln u}{u}\mathrm{d}u = \frac{1}{2}(\ln u)^2$
提示：注意与第一小题结果相同，但推导过程不同。
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