中册 4.3 函数可积性 第1题
📝 题目
1．证明下列结论．
（1）试述大小和的概念，并证明分割加细，大和不增，小和不减．
（2）若 $T^{\prime}$ 是 $T$ 增加若干分点后所得的分割，则 $\sum_{T^{\prime}} \omega_{i}^{\prime} \Delta x_{i}^{\prime} \leqslant \sum_{T} \omega_{i} x_{i}$ ．
💡 答案解析
证明过程：参看数学分析教材。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义大小和
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界。对于分割 $T: a=x_0
公式：S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i,\quad s(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i
提示：注意 $M_i$ 和 $m_i$ 是上确界和下确界，不是最大值和最小值，因为函数不一定连续。
步骤 2/5
目标：证明加细后大和不增
设 $T'$ 是 $T$ 增加分点得到的分割。考虑在 $T$ 的某个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内插入一个分点 $x'$，将原区间分为 $[x_{i-1},x']$ 和 $[x',x_i]$。记 $M_i^{(1)} = \sup_{[x_{i-1},x']} f(x)$，$M_i^{(2)} = \sup_{[x',x_i]} f(x)$，则 $M_i^{(1)} \leq M_i$，$M_i^{(2)} \leq M_i$。因此新大和 $S(T')$ 中对应部分为 $M_i^{(1)}(x'-x_{i-1}) + M_i^{(2)}(x_i-x') \leq M_i(x'-x_{i-1}) + M_i(x_i-x') = M_i \Delta x_i$。其他区间不变，故 $S(T') \leq S(T)$。
提示：注意上确界在子区间上不会增大，因此不等式成立。
步骤 3/5
目标：证明加细后小和不减
类似地，在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内插入分点 $x'$，记 $m_i^{(1)} = \inf_{[x_{i-1},x']} f(x)$，$m_i^{(2)} = \inf_{[x',x_i]} f(x)$，则 $m_i^{(1)} \geq m_i$，$m_i^{(2)} \geq m_i$。新小和对应部分为 $m_i^{(1)}(x'-x_{i-1}) + m_i^{(2)}(x_i-x') \geq m_i(x'-x_{i-1}) + m_i(x_i-x') = m_i \Delta x_i$。故 $s(T') \geq s(T)$。
提示：注意下确界在子区间上不会减小。
步骤 4/5
目标：定义振幅并转化问题
记 $\omega_i = M_i - m_i$ 为 $f$ 在区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上的振幅。则 $\sum_{T} \omega_i \Delta x_i = S(T) - s(T)$。类似地，对于加细分割 $T'$，有 $\sum_{T'} \omega_i' \Delta x_i' = S(T') - s(T')$。
公式：\sum_{T} \omega_i \Delta x_i = S(T)-s(T)
提示：注意振幅非负。
步骤 5/5
目标：证明振幅和的不等式
由前两步，$S(T') \leq S(T)$ 且 $s(T') \geq s(T)$，因此 $S(T') - s(T') \leq S(T) - s(T)$，即 $\sum_{T'} \omega_i' \Delta x_i' \leq \sum_{T} \omega_i \Delta x_i$。
提示：注意不等式方向：大和减小，小和增大，故差减小。
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