中册 4.3 函数可积性 第2题
📝 题目
2．证明：Dirichlet 函数在任何区间 $[a, b]$ 的 Riemann 积分不存在．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
对 $[a, b]$ 的任一分割 $T$ ，在每个小区间的振幅 $\omega_{i}=1, \sum \omega_{i} \Delta x_{i}=b-a$ 不趋于 0 ，从而 Dirichlet函数在 $[a, b]$ 上不可积．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾Dirichlet函数定义
Dirichlet函数定义为：$D(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}$。该函数在任意区间内处处不连续。
公式：D(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}
提示：注意有理数和无理数的稠密性：任何区间内既有有理数也有无理数。
步骤 2/6
目标：回忆Riemann可积的充要条件
函数$f$在$[a,b]$上Riemann可积的充要条件是：对任意分割$T$，当分割的细度$\|T\|\to 0$时，振幅和$\sum\omega_i\Delta x_i\to 0$，其中$\omega_i = M_i - m_i$，$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$，$m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$。
公式：\lim_{\|T\|\to 0}\sum\omega_i\Delta x_i = 0
提示：振幅和是判断可积性的关键，注意区分振幅和与黎曼和。
步骤 3/6
目标：计算Dirichlet函数在任意小区间上的振幅
对任意分割$T: a=x_0
公式：\omega_i = 1
提示：注意：任何区间都同时包含有理数和无理数，所以上确界为1，下确界为0。
步骤 4/6
目标：计算振幅和
振幅和为$\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = \sum_{i=1}^n 1 \cdot \Delta x_i = \sum_{i=1}^n \Delta x_i = b-a$，其中$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。该和与分割无关，恒等于区间长度$b-a$。
公式：\sum\omega_i\Delta x_i = b-a
提示：注意：振幅和不依赖于分割的细度，始终为常数。
步骤 5/6
目标：应用可积性充要条件判断
根据Riemann可积的充要条件，当分割的细度$\|T\|\to 0$时，振幅和应趋于0。但这里振幅和恒为$b-a\neq 0$（因为$a
公式：\lim_{\|T\|\to 0}\sum\omega_i\Delta x_i = b-a \neq 0
提示：注意：即使分割无限细，振幅和也不趋于0，这是不可积的直接原因。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，Dirichlet函数在任何区间$[a,b]$上的Riemann积分不存在。
提示：该结论与区间长度无关，只要区间长度大于0，振幅和就不为0。
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