中册 4.3 函数可积性 第3题
📝 题目
3．叙述函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可积的定义，并据此证明：函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ -1, x \notin \mathbf{Q}\end{array}, \mathbf{Q}\right.$ 是有理数集，在闭区间 $[a, b]$ 上不可积．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
对函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可积的定义，参看数学分析教材．
对 $[a, b]$ 的任一分割 $T$ ，在每个小区间 $\Delta_{i}$ 内取有理点 $r_{i}$ ，作积分和 $\sum_{i=1}^{n} r_{i} \Delta x_{i}$ ，则
$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} r_{i} \Delta x_{i}=\sum_{i=1}^{n} \widehat{\Delta x_{i}}=b-a
$$
在每个小区间 $\Delta_{i}$ 内取无理点 $\xi_{i}$ ，作积分和 $\sum_{i=1}^{n} \xi_{i} \Delta x_{i}$ ，则
$$
\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} \Delta x_{i}=-\sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i}=-(b-a)
$$
由定义，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述可积定义
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可积的定义：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，对 $[a, b]$ 的任意分割 $T: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，$\|T\| = \max\{\Delta x_i\}$。任取 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，作积分和 $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$。若极限 $\lim_{\|T\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ 存在且与分割和 $\xi_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，该极限值为积分值。
公式：\lim_{\|T\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) dx
提示：注意可积定义要求极限与分割和取点无关，且函数必须有界。
步骤 2/5
目标：构造有理点取法
对 $[a, b]$ 的任意分割 $T$，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内取有理点 $r_i$（因为有理数在实数中稠密，总存在有理点）。此时 $f(r_i) = 1$，积分和为 $\sum_{i=1}^n f(r_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n 1 \cdot \Delta x_i = b - a$。
公式：\sum_{i=1}^n f(r_i) \Delta x_i = b - a
提示：确保每个小区间内都能取到有理点，利用有理数的稠密性。
步骤 3/5
目标：构造无理点取法
同样对任意分割 $T$，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 内取无理点 $\xi_i$（无理数也稠密）。此时 $f(\xi_i) = -1$，积分和为 $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n (-1) \cdot \Delta x_i = -(b - a)$。
公式：\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = -(b - a)
提示：注意无理点同样存在，利用无理数的稠密性。
步骤 4/5
目标：比较极限值
当分割的细度 $\|T\| \to 0$ 时，两种取法得到的积分和分别趋于 $b-a$ 和 $-(b-a)$。由于 $b-a > 0$（$a < b$），这两个极限不相等。
公式：\lim_{\|T\| \to 0} \sum f(r_i) \Delta x_i = b-a \neq -(b-a) = \lim_{\|T\| \to 0} \sum f(\xi_i) \Delta x_i
提示：注意极限值依赖于取点，因此不满足可积定义中极限与取点无关的条件。
步骤 5/5
目标：得出不可积结论
根据可积定义，若函数可积，则极限必须与取点无关。但这里两种取法得到不同极限，因此 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积。
提示：注意不可积的证明关键是构造两种取点方式得到不同极限。
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