中册 4.3 函数可积性 第4题
📝 题目
4．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，$\left\{a_{n}\right\} \subset[a, b], \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c$ 。证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有 $a_{n}(n=1,2, \cdots)$为其间断点，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
（2）在区间 $[0,1]$ 上，函数 $f(x)$ 定义为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的 Riemann 可积性．
（3）利用可积的充要条件证明 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不妨设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c=a, f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的振幅为 $\omega . \forall \varepsilon>0$ ，取 $\displaystyle 0<\delta<\frac{\varepsilon}{2 \omega}$ ．因 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，所
以存在 $N>0$ ，当 $n>N$ 时，$a_{n} \in[a, a+\delta]$ ，从而 $f(x)$ 在 $[a+\delta, b]$ 上至多只有有限个间断点，因此 $f(x)$ 在 $[a+\delta, b]$ 上可积．
由可积准则，存在 $[a+\delta, b]$ 上的分割 $T^{*}$ ，使 $\displaystyle \sum_{T^{*}} \omega_{i} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2}$ ．把 $[a, a+\delta]$ 与 $T^{*}$ 合并，就构成 $[a, b]$的一个分割 $T$ 。对分割 $T$ ，有
$$
\sum_{T} \omega_{i} \Delta x_{i}=\omega_{0} \delta+\sum_{T^{*}} \omega_{i} \Delta x_{i} \leqslant \omega \delta+\sum_{T^{*}} \omega_{i} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$
由可积准则，在 $f(x)$ 上 $[a, b]$ 可积．
（2）由 $\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right] \leqslant \frac{1}{x} \leqslant\left[\frac{1}{x}\right]+1$ 知， $0 \leqslant f(x)<1, f(0)=0, f(1)=0$ ．记 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n}, n \geqslant 2$ ．
当 $x=x_{n}$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，当 $\displaystyle \frac{1}{n+1}0$ ，取 $\displaystyle 0<\delta<\frac{\varepsilon}{2}$ ，因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ，所以存在 $N$ ，使当 $n>N$ 时，$\displaystyle \frac{1}{n} \in[0, \delta]$ ，从而 $f(x)$ 在 $[\delta, 1]$上至多只有有限个间断点，因此 $f(x)$ 在 $[\delta, 1]$ 上可积．
由可积准则，存在 $[\delta, 1]$ 上的分割 $T^{*}$ ，使 $\displaystyle \sum_{T^{*}} \omega_{i} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2}$ ．把 $[0, \delta]$ 与 $T^{*}$ 合并，就构成 $[0,1]$ 的一个分割 $T$ 。对分割 $T$ ，有
$$
\sum_{T} \omega_{i} \Delta x_{i}=\omega_{0} \delta+\sum_{T^{*}} \omega_{i} \Delta x_{i} \leqslant \omega \delta+\sum_{T^{*}} \omega_{i} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
$$
由可积准则，在 $f(x)$ 上 $[0,1]$ 可积．
注：由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是增函数，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明函数在区间上可积：利用可积准则，将区间分为两部分处理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，振幅为 $\omega$。对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta<\frac{\varepsilon}{2\omega}$。由于 $\lim_{n\to\infty}a_n=c$，不妨设 $c=a$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$a_n\in[a,a+\delta]$，从而 $f(x)$ 在 $[a+\delta,b]$ 上至多只有有限个间断点，因此 $f(x)$ 在 $[a+\delta,b]$ 上可积。
提示：注意间断点只有 $a_n$，且极限点 $c$ 可能为端点，需分情况讨论，但此处不妨设 $c=a$。
步骤 2/8
目标：构造分割并估计振幅和
由可积准则，存在 $[a+\delta,b]$ 上的分割 $T^*$，使得 $\sum_{T^*}\omega_i\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}$。将 $[a,a+\delta]$ 与 $T^*$ 合并，得到 $[a,b]$ 的一个分割 $T$。对于分割 $T$，有 $\sum_T\omega_i\Delta x_i = \omega_0\delta + \sum_{T^*}\omega_i\Delta x_i \leq \omega\delta + \frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$。
公式：$\sum_T\omega_i\Delta x_i = \omega_0\delta + \sum_{T^*}\omega_i\Delta x_i$
提示：注意 $\omega_0$ 是 $[a,a+\delta]$ 上的振幅，不超过整体振幅 $\omega$。
步骤 3/8
目标：由可积准则得出结论
由可积准则，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
提示：可积准则：函数可积当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在分割使得振幅和小于 $\varepsilon$。
步骤 4/8
目标：分析函数 $f(x)$ 的表达式和间断点
由 $[\frac{1}{x}]\leq\frac{1}{x}\leq[\frac{1}{x}]+1$ 知 $0\leq f(x)<1$，且 $f(0)=0$，$f(1)=0$。记 $x_n=\frac{1}{n}$，$n\geq2$。当 $x=x_n$ 时，$f(\frac{1}{n})=0$；当 $\frac{1}{n+1}
公式：$f(x)=\frac{1}{x}-[\frac{1}{x}]$
提示：注意 $x=0$ 处定义 $f(0)=0$，但 $x\to0^+$ 时 $f(x)$ 振荡，$0$ 也是间断点。
步骤 5/8
目标：应用第(1)问结论判断可积性
由(1)的结论，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积。
提示：第(1)问的条件：函数有界，间断点集为可数集且只有唯一聚点。
步骤 6/8
目标：分析函数 $f(x)$ 的间断点
函数 $f(x)$ 的间断点为 $\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\}$，是可数集，且唯一聚点为 $0$。$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的振幅为 $1$。
提示：注意 $x=0$ 处 $f(0)=0$，但 $x\to0^+$ 时 $f(x)$ 不趋于 $0$，$0$ 也是间断点？实际上题目定义 $f(0)=0$，但 $x=0$ 不在间断点集中？需仔细：间断点集是 $\{\frac{1}{n}\}$，$0$ 是聚点，但 $0$ 本身是否间断？由于 $f(0)=0$，而 $x\to0^+$ 时 $f(x)$ 振荡，所以 $0$ 也是间断点，但题目间断点集未包含 $0$？实际上题目中 $f(x)$ 定义在 $\frac{1}{n+1}
步骤 7/8
目标：构造分割并估计振幅和
对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta<\frac{\varepsilon}{2}$。由于 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$\frac{1}{n}\in[0,\delta]$，从而 $f(x)$ 在 $[\delta,1]$ 上至多只有有限个间断点，因此可积。存在 $[\delta,1]$ 上的分割 $T^*$，使得 $\sum_{T^*}\omega_i\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}$。将 $[0,\delta]$ 与 $T^*$ 合并，得到 $[0,1]$ 的分割 $T$，有 $\sum_T\omega_i\Delta x_i = \omega_0\delta + \sum_{T^*}\omega_i\Delta x_i \leq 1\cdot\delta + \frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$。
公式：$\sum_T\omega_i\Delta x_i = \omega_0\delta + \sum_{T^*}\omega_i\Delta x_i$
提示：注意振幅 $\omega=1$，因为 $f(x)$ 取值在 $0$ 和 $1/n$ 之间，但 $1/n\leq1$，所以振幅不超过1。
步骤 8/8
目标：由可积准则得出结论
由可积准则，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积。
提示：注意：也可利用单调函数可积，因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是增函数。
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