中册 4.3 函数可积性 第6题
📝 题目
6．证明下列结论。
（1）证明：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内连续，那么 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 内 Riemann 可积．
（2）已知有限闭区间上的连续函数在该区间上是可积的．现假设有一函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，有界，有唯一间断点 $a(f(x)$ 在其余点连续）。试根据函数可积条件证明函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．
（3）假设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上为单调函数，试证明 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
提示：见华东师大《数学分析》．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）函数 $f(x)$ 在闭区间内连续，从而一致连续，于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon
$$
对于一个 $[a, b]$ 分割 $T: a=x_{0}0$ ，取 $\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{2 \omega}$ ．去掉小区间 $[a, a+\delta)$ 后，$f(x)$ 在 $[a+\delta, b]$ 上连续，从而可积．于是对上述的 $\varepsilon$ ，存在 $[a+\delta, b]$ 的一个分割 $T_{1}$ ，使 $\displaystyle \sum_{T_{1}} \omega_{i} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
在小区间 $[a, a+\delta]$ 上的振幅 $\omega_{1} \leq \omega$ ，于是 $\displaystyle \omega_{1} \delta \leqslant \omega \delta \leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ ．
作 $T=T_{1}+[a, a+\delta]$ ，则 $T$ 为 $[a, b]$ 的一个分割，满足 $\sum_{T} \omega_{i} \Delta x_{i}<\varepsilon$ ．故 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
（3）不妨设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加，对 $[a, b]$ 的任意分法 $T$ ，函数 $f(x)$ 在小区间 $\Delta_{k}$ 上的下确
界 $m_{k}$ 与上确界 $M_{k}$ 分别是 $m_{k}=f\left(x_{k-1}\right), M_{k}=f\left(x_{k}\right)$ 。于是
$$
\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} \Delta x_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k}-m_{k}\right) \Delta x_{k}=\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right) \Delta x_{k}
$$
对 $\forall \varepsilon>0$ ，取 $\delta=\varepsilon$ ，对 $[a, b]$ 的任意分法 $T$ ，当 $\Delta x_{i}<\|T\|<\delta$ 时，有
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} \Delta x_{k} & =\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right) \Delta x_{k}<\delta \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right) \\
& =\delta\left(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)\right) \\
& =\delta\left(f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{0}\right)\right)=\varepsilon(f(b)-f(a))
\end{aligned}
$$
根据可积准则的充分性，单调函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明连续函数在闭区间上可积
由$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据Cantor定理，$f(x)$在$[a,b]$上一致连续。因此，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
提示：注意一致连续性的使用条件：闭区间上的连续函数一定一致连续。
步骤 2/8
目标：构造分割并估计振幅和
对$[a,b]$作分割$T: a=x_0
公式：\sum\omega_i\Delta x_i\le\varepsilon(b-a)
提示：振幅$\omega_i$的定义：区间上函数值的最大差。
步骤 3/8
目标：由可积准则得出结论
由$\varepsilon$的任意性，$\lim\limits_{\|T\|\to0}\sum\omega_i\Delta x_i=0$，根据Riemann可积的振幅准则，$f(x)$在$[a,b]$上Riemann可积。
提示：Riemann可积的充要条件：振幅和趋于0。
步骤 4/8
目标：证明有唯一间断点的有界函数可积
设$f(x)$在$[a,b]$上有界，唯一间断点为$x=a$（其余点连续）。记$\omega=\sup\limits_{x\in[a,b]}f(x)-\inf\limits_{x\in[a,b]}f(x)$为$f$在$[a,b]$上的振幅。对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\frac{\varepsilon}{2\omega}$。
公式：\delta=\frac{\varepsilon}{2\omega}
提示：注意$\omega$可能为0，但此时函数为常数，显然可积。
步骤 5/8
目标：处理连续部分和间断点邻域
在$[a+\delta,b]$上，$f(x)$连续，从而可积。存在分割$T_1$使得$\sum\limits_{T_1}\omega_i\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}$。在小区间$[a,a+\delta]$上，振幅$\omega_1\le\omega$，因此$\omega_1\delta\le\omega\delta=\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：\omega_1\delta\le\frac{\varepsilon}{2}
提示：连续部分的可积性由(1)保证。
步骤 6/8
目标：合并分割并验证可积性
将$T_1$与$[a,a+\delta]$合并得到$[a,b]$的一个分割$T$，则$\sum\limits_T\omega_i\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$。由$\varepsilon$的任意性，$f(x)$在$[a,b]$上可积。
提示：注意分割的合并：在$a+\delta$处增加一个分点。
步骤 7/8
目标：证明单调函数可积
不妨设$f(x)$在$[a,b]$上单调递增。对任意分割$T: a=x_0
公式：\omega_k=f(x_k)-f(x_{k-1})
提示：单调函数在子区间上的上下确界就是端点值。
步骤 8/8
目标：估计振幅和并利用可积准则
振幅和为$\sum\limits_{k=1}^n\omega_k\Delta x_k=\sum\limits_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1}))\Delta x_k$。对任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\varepsilon$，当$\|T\|<\delta$时，$\sum\omega_k\Delta x_k<\delta\sum(f(x_k)-f(x_{k-1}))=\delta(f(b)-f(a))=\varepsilon(f(b)-f(a))$。由$\varepsilon$的任意性，振幅和趋于0，故$f(x)$可积。
公式：\sum\omega_k\Delta x_k\le\varepsilon(f(b)-f(a))
提示：注意$\Delta x_k<\|T\|<\delta$，因此可以提出$\delta$。
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