中册 4.3 函数可积性 第7题
📝 题目
7．证明下列命题．
（1）设 $f(x), g(x)$ 均为定义在 $[a, b]$ 上的有界函数。证明：若仅在 $[a, b]$ 中有限个点处 $f(x) \neq g(x)$ ，则当 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积时，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上也可积，且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：符号函数在 $[-1,1]$ 上是可积的，但在 $[-1,1]$ 上不存在原函数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上的值仅在点 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 处不同．记 $F(x)=f(x)-g(x)$ ，则 $F(x)$ 除在点 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 处不为 0 ，在其他点的值均为 0 。于是 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $\int_{a}^{b} F(x) \mathrm{d} x=0$ 。从而 $g(x)=f(x)-F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.
（2）符号函数只有一个间断点，且有界，从而可积．符号函数的导函数有第一类间断点，从而没有原函数（函数的导函数最多容许第二类间断点）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造差值函数
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上仅在有限个点 $a_1, a_2, \dots, a_k$ 处取值不同。定义 $F(x) = f(x) - g(x)$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上除这些点外均为0，即 $F(x)$ 是有限个非零点上的函数。
公式：F(x) = f(x) - g(x)
提示：注意有限个点可能包括端点，但处理方式相同。
步骤 2/6
目标：证明差值函数可积且积分为0
由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个间断点（即非零点），且 $F(x)$ 有界（因为 $f,g$ 有界），根据可积的充分条件：有界函数只有有限个间断点则可积。因此 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。又因为 $F(x)$ 在除有限个点外为0，其任意分割的积分和趋于0，故 $\int_a^b F(x) dx = 0$。
公式：∫_a^b F(x) dx = 0
提示：严格证明需用达布和或定义，但此处可简化为已知结论。
步骤 3/6
目标：推导g(x)的可积性
由 $g(x) = f(x) - F(x)$，且 $f(x)$ 可积，$F(x)$ 可积，则 $g(x)$ 作为可积函数的差也可积。
公式：g(x) = f(x) - F(x)
提示：可积函数的线性组合仍可积。
步骤 4/6
目标：证明积分相等
由积分的线性性质：$\int_a^b g(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b F(x) dx = \int_a^b f(x) dx - 0 = \int_a^b f(x) dx$。
公式：∫_a^b g(x) dx = ∫_a^b f(x) dx
提示：注意积分线性性的使用条件。
步骤 5/6
目标：符号函数的可积性
符号函数 $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上定义为：$\operatorname{sgn}(x)=1$ 当 $x>0$，$\operatorname{sgn}(x)=0$ 当 $x=0$，$\operatorname{sgn}(x)=-1$ 当 $x<0$。它只有一个间断点 $x=0$，且有界（值域为 $\{-1,0,1\}$），因此根据有界函数只有有限个间断点则可积，$\operatorname{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可积。
提示：注意间断点个数有限即可，不要求连续。
步骤 6/6
目标：符号函数不存在原函数
假设 $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上存在原函数 $F(x)$，则 $F'(x)=\operatorname{sgn}(x)$。但导函数 $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处有第一类间断点（跳跃间断），而根据达布定理，导函数不可能有第一类间断点（只能有第二类间断点）。因此矛盾，故不存在原函数。
提示：注意原函数存在定理：若函数有第一类间断点，则不存在原函数。
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