中册 4.3 函数可积性 第8题
📝 题目
8．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积，用可积准则证明：$f^{2}(x)$ 在 $[0,1]$ 上也是黎曼可积．
（2）若 $\sqrt{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 可积．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界。于是 $\exists A>0$ 使 $|f(x)| \leqslant A$ ．由可积准则，存在 $[0,1]$ 上的分割 $T_{1}$ ，使
$$
\sum_{T_{1}} \omega_{i}^{f} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2 A}
$$
估计 $\omega_{i}^{f^{2}}: \omega_{i}^{f^{2}}=\sup _{x_{1}, x_{2} \in \Delta x_{i}}\left|f^{2}\left(x_{1}\right)-f^{2}\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \sup _{x_{1}, x_{2} \in \Delta x_{i}}\left(\left|f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right| \cdot\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\right) \leqslant 2 A \omega_{i}^{f}$ 。于是
$$
\sum_{T} \omega_{i}^{f^{2}} \Delta x_{i}=\sum_{T} 2 A \omega_{i}^{f} \Delta x_{i}<2 A \varepsilon
$$
由可积准则，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
（2）由（1）可得结论．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明f(x)有界
由于$f(x)$在$[0,1]$上黎曼可积，根据可积的必要条件，$f(x)$在$[0,1]$上有界。因此存在常数$A>0$，使得对任意$x\in[0,1]$，有$|f(x)|\leq A$。
提示：注意：可积函数必有界，但反之不成立。
步骤 2/6
目标：应用可积准则于f(x)
由可积准则，对任意$\varepsilon>0$，存在$[0,1]$上的分割$T_1$，使得$f(x)$在该分割下的振幅和满足：
$$\sum_{T_1} \omega_i^f \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2A}.$$
公式：$$\sum \omega_i \Delta x_i < \varepsilon$$
提示：可积准则：函数可积当且仅当振幅和可以任意小。
步骤 3/6
目标：估计f^2(x)的振幅
考虑$f^2(x)$在分割$T_1$的每个小区间上的振幅$\omega_i^{f^2}$。对于任意$x_1,x_2$属于同一小区间，有
$$|f^2(x_1)-f^2(x_2)| = |f(x_1)+f(x_2)|\cdot|f(x_1)-f(x_2)| \leq 2A \cdot |f(x_1)-f(x_2)|.$$
因此，$\omega_i^{f^2} \leq 2A \omega_i^f$。
公式：$$\omega_i^{f^2} \leq 2A \omega_i^f$$
提示：利用平方差公式和$|f(x)|\leq A$。
步骤 4/6
目标：计算f^2(x)的振幅和
对分割$T_1$，计算$f^2(x)$的振幅和：
$$\sum_{T_1} \omega_i^{f^2} \Delta x_i \leq \sum_{T_1} 2A \omega_i^f \Delta x_i = 2A \sum_{T_1} \omega_i^f \Delta x_i < 2A \cdot \frac{\varepsilon}{2A} = \varepsilon.$$
提示：注意不等式方向，并代入上一步的估计。
步骤 5/6
目标：由可积准则得f^2(x)可积
由可积准则，对任意$\varepsilon>0$，存在分割$T_1$使得$f^2(x)$的振幅和小于$\varepsilon$，因此$f^2(x)$在$[0,1]$上黎曼可积。
提示：可积准则的充分性：振幅和可任意小则函数可积。
步骤 6/6
目标：证明(2)的结论
设$g(x)=\sqrt{f(x)}$在$[a,b]$上可积。由(1)的结论，$g^2(x)=f(x)$在$[a,b]$上也可积。因此结论成立。
提示：注意(1)中条件为$f$可积则$f^2$可积，这里$g$可积则$g^2$可积。
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