中册 4.3 函数可积性 第10题
📝 题目
10．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，记 $f^{+}(x)=\max \{f(x), 0\}, f^{-}(x)=\max \{-f(x), 0\}$ ．证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的充分必要条件是 $f^{+}(x), f^{-}(x)$ 在 $[a, b]$ 上均可积，并且
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
必要性：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $|f(x)|$ 上可积．由
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f^{+}(x)=\frac{1}{2}(|f(x)|+f(x)), \quad f^{-}(x)=\frac{1}{2}(|f(x)|-f(x))
$$
得 $f^{+}(x), f^{-}(x)$ 在 $[a, b]$ 上均可积．显然，$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$ ，所以
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x
$$
充分性：设 $f^{+}(x), f^{-}(x)$ 在 $[a, b]$ 上均可积，由 $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$ 知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且
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\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{+}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f^{-}(x) \mathrm{d} x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解函数分解
定义 $f^+(x)=\max\{f(x),0\}$ 和 $f^-(x)=\max\{-f(x),0\}$。注意 $f^+(x)$ 和 $f^-(x)$ 都是非负函数，且 $f(x)=f^+(x)-f^-(x)$，$|f(x)|=f^+(x)+f^-(x)$。
公式：$f(x)=f^+(x)-f^-(x)$，$|f(x)|=f^+(x)+f^-(x)$
提示：注意 $f^-(x)$ 的定义是 $-f(x)$ 的正部，不要混淆符号。
步骤 2/6
目标：必要性：由 $f$ 可积推出 $f^+$ 和 $f^-$ 可积
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $|f|$ 也可积（因为 $|f|$ 是连续函数与可积函数的复合，或利用可积的绝对值性质）。由 $f^+=\frac{1}{2}(|f|+f)$ 和 $f^-=\frac{1}{2}(|f|-f)$，以及可积函数的线性组合仍可积，得 $f^+$ 和 $f^-$ 均可积。
公式：$f^+=\frac{1}{2}(|f|+f)$，$f^-=\frac{1}{2}(|f|-f)$
提示：需要先证明 $|f|$ 可积，这是关键步骤。
步骤 3/6
目标：必要性：积分等式成立
由 $f=f^+-f^-$ 及可积函数的线性性质，有 $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f^+(x)\,dx - \int_a^b f^-(x)\,dx$。
公式：$\int_a^b f = \int_a^b f^+ - \int_a^b f^-$
提示：注意积分是线性的，直接应用即可。
步骤 4/6
目标：充分性：由 $f^+$ 和 $f^-$ 可积推出 $f$ 可积
若 $f^+$ 和 $f^-$ 在 $[a,b]$ 上均可积，则它们的差 $f=f^+-f^-$ 也可积（可积函数的线性组合）。
公式：无
提示：直接利用可积函数的线性性质，无需额外条件。
步骤 5/6
目标：充分性：积分等式成立
同样由 $f=f^+-f^-$ 及线性性质，得到 $\int_a^b f = \int_a^b f^+ - \int_a^b f^-$。
公式：$\int_a^b f = \int_a^b f^+ - \int_a^b f^-$
提示：与必要性中的等式相同，但方向相反。
步骤 6/6
目标：总结
综上，$f$ 可积当且仅当 $f^+$ 和 $f^-$ 均可积，且此时积分等式成立。
公式：无
提示：注意充分性和必要性都要证明，缺一不可。
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