中册 4.3 函数可积性 第12题

\section*{解题过程：} （1）由条件易知 $f(x) g(x) \in R[a, b]$ 。记 $I=\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x . \forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0$ ，当 $\|T\|<\delta_{1}$ 时，对一切 $\left\{\xi_{i}\right\}_{1}^{n}$ 有 $\displaystyle \left|\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}-I\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ 。 因 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，故 $f(x)$ 有界，设 $|f(x)| \leqslant M, x \in[a, b]$ ． 又因 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，从而在 $[a, b]$ 可积，对上述 $\varepsilon, \exists \delta_{2}>0$ ，当 $\|T\|<\delta_{2}$ 时，有 $$ \sum_{T} \omega_{i}^{g} \Delta x_{i}<\frac{\varepsilon}{2 M} . $$ 记 $\delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}$ ，则当 $\|T\|<\delta$ 时，有 $$ \left|\sum_{T} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\theta_{i}\right) \Delta x_{i}-\sum_{T} f\left(\xi_{i}\right) g\left(\xi_{i}\right) \Delta x\right| \leqslant \sum_{T}\left|f\left(\xi_{i}\right) \| g\left(\theta_{i}\right)-g\left(\xi_{i}\right)\right| \Delta x_{i} \leqslant M \sum_{T} \omega_{i}^{g} \Delta x_{i}0$ 使 $|f(x)| \leqslant M$ ． 由于 故 $$ \begin{aligned} & \left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right) \Delta x_{i}-\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right| \\ & \leqslant \frac{M}{n} \sum_{i=1}^{n}\left|g\left(\frac{i-1}{n}\right)-g\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leqslant M \sum_{i=1}^{n} \omega\left(g, I_{i}\right) \frac{1}{n} \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty) \\ & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right)-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i}{n}\right)\right)=0 \\ & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i-1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) g\left(\frac{i}{n}\right)\right)=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x . \end{aligned} $$ 于是