中册 4.3 函数可积性 第13题
📝 题目
13．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，且对 $[0,1]$ 上任何有限个两两不交的闭区间 $\left[a_{i}, b_{i}\right]$ ， $1 \leqslant i \leqslant n$ ，都有 $\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 1$ 。求证： $\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 2$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，所以对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $[0,1]$ 上的阶梯函数 $g(x)$ ，使得 $f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) \mathrm{d} x<\frac{1}{3} \varepsilon$.
下面对 $\left|\sum_{i} \int_{a_{i}}^{b_{i}} g(x) \mathrm{d} x\right|$ 进行估计．
$$
\begin{aligned}
\left|\sum_{i} \int_{a_{i}}^{b_{i}} g(x) \mathrm{d} x\right| & =\left|\sum_{i} \int_{a_{i}}^{b_{i}}(g(x)-f(x)+f(x)) \mathrm{d} x\right| \leqslant\left|\sum_{i} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\sum_{i} \int_{a_{i}}^{b_{i}}(g(x)-f(x)) \mathrm{d} x\right| \\
& \leqslant\left|\sum_{i} \int_{a_{i}}^{b_{i}} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{0}^{1}|g(x)-f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 1+\frac{1}{3} \varepsilon .
\end{aligned}
$$
选取 $0=x_{0}0$ 的任意性， $\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant 2$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用Riemann可积性构造阶梯函数逼近
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，对任意 $ε>0$，存在 $[0,1]$ 上的阶梯函数 $g(x)$，使得 $f(x) \leq g(x)$，且 $\int_0^1 (g(x)-f(x)) dx < \frac{1}{3}ε$。
提示：注意阶梯函数通常取为 $f$ 的简单函数逼近，但这里要求 $g(x) \geq f(x)$，因此需用上确界构造。
步骤 2/6
目标：估计阶梯函数在任意有限个不交闭区间上的积分和
对任意有限个两两不交的闭区间 $[a_i,b_i]$，有
$$\left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} g(x) dx\right| = \left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} (g(x)-f(x)+f(x)) dx\right| \leq \left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} f(x) dx\right| + \left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} (g(x)-f(x)) dx\right|.$$
由条件 $\left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} f(x) dx\right| \leq 1$，且 $g(x)-f(x) \geq 0$，故
$$\left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} (g(x)-f(x)) dx\right| \leq \int_0^1 (g(x)-f(x)) dx < \frac{1}{3}ε.$$
因此 $\left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} g(x) dx\right| < 1 + \frac{1}{3}ε$。
公式：三角不等式
提示：注意 $g(x)-f(x) \geq 0$，所以绝对值可以直接去掉，且积分和不超过全区间积分。
步骤 3/6
目标：将阶梯函数的积分按符号分组
选取分点 $0=x_0
提示：注意 $g(x)$ 在子区间上同号，因此绝对值可直接去掉。
步骤 4/6
目标：利用上一步的估计得到 $\int_0^1 |g(x)| dx$ 的上界
由 $\left|\sum_i \int_{a_i}^{b_i} g(x) dx\right| < 1+\frac{1}{3}ε$ 对任意有限个不交闭区间成立，特别地，取所有 $g(x) \geq 0$ 的区间（它们两两不交）得 $\sum' \int_{x_{k-1}}^{x_k} g(x) dx < 1+\frac{1}{3}ε$；取所有 $g(x)<0$ 的区间得 $\left|\sum'' \int_{x_{k-1}}^{x_k} g(x) dx\right| < 1+\frac{1}{3}ε$，即 $-\sum'' \int_{x_{k-1}}^{x_k} g(x) dx < 1+\frac{1}{3}ε$。因此
$$\int_0^1 |g(x)| dx = \sum' \int_{x_{k-1}}^{x_k} g(x) dx + \left(-\sum'' \int_{x_{k-1}}^{x_k} g(x) dx\right) < 2 + \frac{2}{3}ε.$$
提示：注意正负区间分别应用条件，但条件要求区间两两不交，而正区间和负区间之间可能相交？实际上正区间和负区间是互不相交的，因为它们是不同的子区间。
步骤 5/6
目标：利用 $g$ 逼近 $f$ 得到 $\int_0^1 |f(x)| dx$ 的上界
由 $|f(x)| \leq |g(x)| + |f(x)-g(x)|$，且 $f(x)-g(x) \leq 0$，故 $|f(x)-g(x)| = g(x)-f(x)$。因此
$$\int_0^1 |f(x)| dx \leq \int_0^1 |g(x)| dx + \int_0^1 (g(x)-f(x)) dx < \left(2+\frac{2}{3}ε\right) + \frac{1}{3}ε = 2+ε.$$
公式：三角不等式
提示：注意 $f(x)-g(x) \leq 0$，所以绝对值等于 $g(x)-f(x)$。
步骤 6/6
目标：由 $\varepsilon$ 的任意性得出结论
由于 $\varepsilon>0$ 是任意的，因此 $\int_0^1 |f(x)| dx \leq 2$。
提示：注意极限过程：对任意 $\varepsilon>0$ 不等式成立，则取 $\varepsilon \to 0^+$ 即得。
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