中册 4.3 函数可积性 第14题
📝 题目
14．给出 Riemann 积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义，并确定实数 $s$ 的范围使下列极限收敛 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
Riemann 积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的定义：设 $J$ 是实数，$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\|T\|<\delta$ 时，当 $\xi_{i} \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ 时， $\left|\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)-J\right|<\varepsilon$ ，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$J$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的积分．
由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s}=\int_{0}^{1} x^{s} \mathrm{~d} x$ ，且当 $s>-1$ 时积分 $\int_{0}^{1} x^{s} \mathrm{~d} x$ 收敛，故当 $s>-1$ 时极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^{s} \frac{1}{n}$ 收敛。。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：给出Riemann积分的定义
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义。对 $[a,b]$ 作分割 $T: a=x_00$，$\exists\delta>0$，当 $\|T\|<\delta$ 时，对任意 $\xi_i$ 有 $|S(T)-J|<\varepsilon$，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，$J$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的 Riemann 积分，记作 $\int_a^b f(x)\,dx$。
公式：$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$
提示：注意分割的细度 $\|T\|$ 趋于0，且 $\xi_i$ 的取法任意。
步骤 2/5
目标：将极限转化为Riemann积分
考虑极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^s \frac{1}{n}$。令 $x_i=\frac{i}{n}$，$\Delta x=\frac{1}{n}$，则 $\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^s \frac{1}{n} = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\Delta x$，其中 $f(x)=x^s$。当 $n\to\infty$ 时，$\Delta x\to 0$，该和式趋近于 $f(x)=x^s$ 在 $[0,1]$ 上的 Riemann 积分：$\int_0^1 x^s\,dx$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^s = \int_0^1 x^s\,dx$
提示：注意积分区间为 $[0,1]$，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可能无定义，需考虑瑕积分。
步骤 3/5
目标：讨论瑕积分 $\int_0^1 x^s\,dx$ 的收敛性
当 $s\geq 0$ 时，$x^s$ 在 $[0,1]$ 上连续，积分是正常的 Riemann 积分，收敛。当 $s<0$ 时，$x=0$ 是瑕点，需考虑瑕积分 $\int_0^1 x^s\,dx$。计算：$\int_0^1 x^s\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1 x^s\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\frac{x^{s+1}}{s+1}\right]_\varepsilon^1$。若 $s+1>0$ 即 $s>-1$，则 $\lim_{\varepsilon\to 0^+}\varepsilon^{s+1}=0$，积分收敛于 $\frac{1}{s+1}$；若 $s+1\leq 0$ 即 $s\leq -1$，则极限发散（$s=-1$ 时对数发散，$s<-1$ 时幂次发散）。
公式：$\int_0^1 x^s\,dx = \begin{cases} \frac{1}{s+1}, & s>-1 \\ \text{发散}, & s\leq -1 \end{cases}$
提示：注意 $s=-1$ 时积分结果为 $\ln x$ 在0处发散，需单独讨论。
步骤 4/5
目标：结合Riemann积分与极限的关系
由于 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^s \frac{1}{n} = \int_0^1 x^s\,dx$，且该积分在 $s>-1$ 时收敛，在 $s\leq -1$ 时发散，因此原极限收敛当且仅当 $s>-1$。
提示：注意这里极限与积分相等的前提是 $f(x)=x^s$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，而 $s>-1$ 正是可积条件。
步骤 5/5
目标：总结实数 $s$ 的范围
综上所述，极限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{i}{n}\right)^s \frac{1}{n}$ 收敛当且仅当 $s>-1$。
提示：答案：$s>-1$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。