中册 4.3 函数可积性 第15题
📝 题目
15．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 R 可积，因此 $\forall \varepsilon>0$ ，在 $[a, b]$ 上存在连续的函数 $f_{\varepsilon}(x)$ 使得 $\int_{a}^{b}\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 R 可积，证明存在 $[a, b]$ 上的多项式函数列 $\varphi_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由可积准则，存在 $[a, b]$ 上的分割 $T_{1}: a=x_{0}0$ ，在 $[a, b]$ 上存在连续的函数 $g(x)$ 使得
$$
|f(x)-g(x)|<\varepsilon
$$
对连续的函数 $g(x)$ 存在 $[a, b]$ 上的多项式函数列 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ ，当 $n$ 充分大时有
$$
\left|\varphi_{n}(x)-g(x)\right|<\varepsilon
$$
于是当 $n$ 充分大时有
$$
\left|\int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{a}^{b}\left|\varphi_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b}\left|\left(\varphi_{n}(x)-g(x)\right)\right|+|(f(x)-g(x))| \mathrm{d} x \leqslant 2 \varepsilon(b-a)
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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