中册 4.3 函数可积性 第16题
📝 题目
16．举例．
（1）举一个 Riemann 不可积的函数．
（2）举例说明 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积时，下面的等式不一定成立．
$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x . \text { }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ -1, x \notin \mathbf{Q},\end{array} \quad \mathbf{Q}\right.$ 是有理数集，在闭区间 $[0,1]$ 上不可积．
（2）取 $f(x)=g(x)=x, x \in[0,1], \int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x \neq \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造Riemann不可积函数
考虑函数 $f(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q} \\ -1, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases}$ 在区间 $[0,1]$ 上。对于任意分割 $T: 0=x_0
提示：注意Riemann可积的充要条件是Darboux上和与下和相等，这里上和与下和不相等，因此不可积。
步骤 2/6
目标：说明等式不成立的条件
需要找到两个在 $[a,b]$ 上可积的函数 $f$ 和 $g$，使得 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx \neq \int_a^b f(x)\,dx \cdot \int_a^b g(x)\,dx$。
提示：注意等式左边是乘积的积分，右边是积分的乘积，一般不等。
步骤 3/6
目标：选取具体函数
取 $f(x)=x$，$g(x)=x$，区间 $[a,b]=[0,1]$。显然 $f$ 和 $g$ 在 $[0,1]$ 上连续，因此可积。
提示：选择简单函数便于计算。
步骤 4/6
目标：计算左边积分
计算 $\int_0^1 f(x)g(x)\,dx = \int_0^1 x\cdot x\,dx = \int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$。
公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
提示：注意幂函数积分公式。
步骤 5/6
目标：计算右边积分乘积
计算 $\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$，同样 $\int_0^1 g(x)\,dx = \frac{1}{2}$。因此右边乘积为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
提示：注意积分结果相乘。
步骤 6/6
目标：比较左右两边
左边 $\frac{1}{3}$，右边 $\frac{1}{4}$，显然 $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{4}$，因此等式不成立。
提示：注意分数比较。
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