中册 4.3 函数可积性 第17题

答：正确。 （2）函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，则函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积．（沈阳 工 大 2010） 答：错误。见题 3 。 （3）定义函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \text { 为无理数，} \\ 0, x \text { 为有理数，}\end{array}\right.$ 其在闭区间 $[0,1]$ 上黎曼可积．（东南大学 2007） 答：错误。对 $[0,1]$ 的等分分割 $T$ ，每个小区间的振幅 $\displaystyle \omega_{i}=\frac{i}{n}, \sum_{T} \omega_{i} \Delta x_{i}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n}=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \nrightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$ ，故函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上不可积． （4）若 $|f(x)|$ 在区间 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 可积．（曲阜师大 2008） 答：错误。见题 3 。 （5）设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为零的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．（华东师大 2009） 答：正确．由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，不恒为零，可知，存在 $[c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $f(x)$ 在 $[c, d]$ 上有 $|f(x)| \geqslant M>0$ 。显然，$f(x) D(x)$ 在 $[c, d]$ 上不可积，从而 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积。 （6）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，若对任意的 $\delta>0, f(x)$ 在 $[a+\delta, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．（北京大学 1999） 答：正确．由 $f(x)$ 在 $[a+\delta, b]$ 上可积，则 $\forall \varepsilon>0, \exists$ 某个分割 $T_{1}$ ，使 $\sum_{T_{1}} \omega_{i}{ }^{f} \Delta x_{i}<\varepsilon$ ． 取 $\delta=\varepsilon$ ，作 $T=T_{1}+[a, a+\delta]$ ，则 $\sum_{T} \omega_{i}^{f} \Delta x_{i}=\omega^{f} \delta+\sum_{T_{i}} \omega_{i}^{f} \Delta x_{i}<\left(\omega^{f}+1\right) \varepsilon$ ，其中 $\omega^{f}$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的振幅． （7）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的连续点有无限多个．（重庆大学 2003） 答：正确．因 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的充要条件是 $f(x)$ 的不连续点至多可数个． （8）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 至少有一个连续点．（兰州大学 2003） 答：正确． （9）连续函数的不定积分一定存在．（重庆大学 2003） 答：正确。 （10）在区间上具有跳跃间断点的函数一定不存在原函数．（深圳大学 2013） 答：正确．设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有跳跃间断点 $x_{0}$ ，且存在原函数 $F(x)$ ，则 $\exists U\left(x_{0}\right) \subset I$ ，由中值定理得 $$ F(x)=F\left(x_{0}\right)+f(\xi)\left(x-x_{0}\right), \xi \text { 在 } x, x_{0} \text { 之间. } $$ 于是 $$ F^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{F(x)-F\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(\xi)=f\left(x_{0}\right) . $$ 然而由于 $f\left(x_{0}-0\right)=F_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)=F_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+0\right)$ ，与题设矛盾。所以在区间上具有跳跃间断点的函数一定不存在原函数． （11）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x=0$ 或 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv 0$ ．（苏州大学 2012／2014） 答：正确．见 4.4 题 1（1）． （12）对 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ ，积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 为正当且仅当 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒为正．（东南大学 2005） 答：错误。 $\displaystyle f(x)=x,-1 \leqslant x \leqslant 2, \int_{-1}^{2} x \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{-1} ^{2}=\frac{3}{2}>0$ ，但 $f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上不恒为正。 （13）若有界函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，$f(x)>0$ ．则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ．（西安交大 2008） 答：正确．$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，则 $f(x)$ 至少有一个连续点．由保号性得． （14）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有零点．（华东师大 2008） 答：正确．因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，即 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有零点． （15）若函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上 Riemann 可积，则 $(f(x))^{2}$ 在 $(a, b)$ 也 Riemann 可积．（吉林大学 2006） 答：正确． （16）Riemann 函数在任何有限区间上都是 Riemann 可积的．（吉林大学 2007） 答：正确．由可积函数的区间可加性得． （17）函数 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积当且仅当 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积．（东南大学 2007） 答：正确．由 $f^{2}(x)=|f(x)| \cdot|f(x)|$ 知，若 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，则 $f^{2}(x)$ 可积．由 $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$ 知，若 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 上Riemann 可积，则 $|f(x)|$ 可积。 （18）函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，一定绝对可积．（安徽大学 02 ，浙江师大 2012 ，上海交大 2001） 答：正确．方法 1：因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\forall \varepsilon>0, \exists$ 某个分割 $T$ ，使得 $\sum_{T} \omega_{i}^{f} \Delta x_{i}<\varepsilon$ ，而 $$ \omega_{i}^{|f|}=\sup _{x^{\prime}, x^{\prime} \in \Delta_{1}}\left\|f\left(x^{\prime}\right)\left|-\left|f\left(x^{\prime \prime}\right) \| \leqslant \sup _{x^{\prime}, x^{\prime} \in \Delta_{1}}\right| f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|=\omega_{i}^{f},\right. $$ 故 $\sum_{T} \omega_{i}^{|f|} \Delta x_{i} \leqslant \sum_{T} \omega_{i}^{f} \Delta x_{i}<\varepsilon$ ．即 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上可积，所以 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上绝对可积． 方法 2：由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，再由 $|f(x)|=\sqrt{f^{2}(x)}$ 知，则 $|f(x)|$ 可积． （19）$f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x) g(x)$ 在 $[a, b]$ 上一定可积．（西安交大 2010） 答：正确． （20）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x) g(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．（南昌大学 答：错误．$f(x)=0, g(x)$ 为狄利克雷函数． （21）区间 $[a, b]$ 上有无穷多个间断点的函数在 $[a, b]$ 上必定不是黎曼可积的．（东南大学 2004）答：错误。见题 4（3）。 （22）区间 $[a, b]$ 上有无穷多个间断点的函数在 $[a, b]$ 上仍然可能可积．（深圳大学 2013） 答：正确．见题 $4(3)$ 的 $f(x)$ ，其在 $[0,1]$ 上可积，且有无穷多个间断点． （23）若有界函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个间断点．（东南大学 2008） 答：错误．见题 $4(3)$ 的 $f(x)$ ，其在 $[0,1]$ 上可积，且有无穷多个间断点． （24）当函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 R 可积时， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ．（厦门大学 2005） 答：正确． （25）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义，且极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ．（厦门大学 2004） 答：错误．如 $f(x)$ 为狄利克雷函数． （26）设 $f(x)$ 为可微函数，则 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}$ ．（厦门大学 2006） 答：错误。 $f(x)=x, \int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x+c,\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}=x$ ． （27）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则必存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)$ ．（福建师大 2004） 答：错误．$f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in[0,1], \\ -1, x \in[-1,0),\end{array} \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0\right.$ ，而对任一点 $\xi \in(a, b), f(\xi)(b-a)=2 f(\xi) \neq 0$ ． （28）若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数且单调，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．（南京师大 2006） 答：正确．设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数为 $F(x)$ ，则 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ．由于 $F^{\prime}(x)$ 没有第一类间断点，即 $f(x)$ 没有第一类间断点．又单调函数只有第一类间断点，而 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调，所以 $f(x)$ 在 $I$ 上连续。 （29）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义，且对任意 $c \in(0,1)$ 极限 $\lim _{x \rightarrow c} f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 ［0，1］上可积．（兰州大学 2013） 答：错误．$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{-1}, x \in(0,1], \\ 0, x=0,\end{array} \quad f(x)\right.$ 在 $[0,1]$ 上无界，从而不可积．但 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 连续，对任意 $c \in(0,1)$ 极限 $\lim _{x \rightarrow c} f(x)$ 存在． （30）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(a, b)$ 内可导．（兰州大学 2003） 答：错误．反例见（27）的 $f(x), F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\left\{\begin{array}{c}-x-1, x<0, \\ x-1, x \geqslant 0,\end{array} \quad F(x)\right.$ 在 $(-1,1)$ 上不可导． （31）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一定有原函数．（兰州大学 2005，东南大学 2009，上海交大 2008） 答：错误。反例见（27）的 $f(x)$ 。显然 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可积，但不存在在 $[-1,1]$ 上可导，且 $F^{\prime}(x)=f(x)$ 的函数 $F(x)$ ，即 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上不存在原函数． （32）设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上处处可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一定 Riemann可积．（兰州大学 2005） 答 ：错 误 。例如：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x^{2}}, 0