中册 4.4 积分估值与积分不等式 第3题
📝 题目
3．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续，且对在 $(a, b)$ 的任意可积函数 $g(x)$ 有 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且对任意满足 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ 的连续函数 $g(x)$ 有 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)$ 恒等于常数．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且对于所有那些在 $[a, b]$ 上满足附加条件 $g(a)=g(b)=0$ 的连续函数 $g(x)$ 有 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：$f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $f(x) g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，因此 $f(x) g(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，于是存在 $M>0$ 使 $|f(x) g(x)| \leqslant M$ ．对充分小的正数 $\varepsilon$ ，取 $g(x)=f(x), x \in[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ ，并对 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续延拓．于是
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x & =\int_{a}^{a+\varepsilon} f(x) g(x) \mathrm{d} x+\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) g(x) \mathrm{d} x+\int_{b-\varepsilon}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \\
& =\int_{a}^{a+\varepsilon} f(x) g(x) \mathrm{d} x+\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\int_{b-\varepsilon}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0
\end{aligned}
$$
从而
$$
\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant\left|\int_{a}^{a+\varepsilon} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{b-\varepsilon}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|<2 M \varepsilon
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，则 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．故 $f^{2}(x) \equiv 0$ ．
（2）取 $\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ．于是
$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0, \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0
$$
两式相减得
$$
\int_{a}^{b}\left(f(x)-\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) g(x) \mathrm{d} x=0
$$
即 $\int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x=0$ ．由此得 $g(x) \equiv 0$ ，即 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）令 $g(x)=f(x)(x-a)^{2}(x-b)^{2}$ ．由题设易知 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $g(a)=g(b)=0$ ．又 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，即 $\int_{a}^{b} f^{2}(x)(x-a)^{2}(x-b)^{2} \mathrm{~d} x=0$ ，所以 $f(x)(x-a)(x-b)=0$ ．
当 $x \neq a, x \neq b$ 时，$f(x)=0$ ，当 $x=a, x=b$ 时，因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0$ ，所以 $f(x)=0, x \in[a, b]$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数并利用条件
对于任意可积函数 $g(x)$，有 $\int_a^b f(x)g(x)dx=0$。特别地，取 $g(x)=f(x)$ 在 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 上，并在 $[a,b]$ 上连续延拓（例如在端点附近线性延拓），则 $g(x)$ 可积。代入条件得：
$$\int_a^{a+\varepsilon} f(x)g(x)dx + \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^2(x)dx + \int_{b-\varepsilon}^b f(x)g(x)dx = 0.$$
公式：$$\int_a^b f(x)g(x)dx=0$$
提示：注意 $g(x)$ 的构造需保证可积性，延拓方式不影响积分值。
步骤 2/8
目标：估计积分并利用任意性
由于 $f(x)g(x)$ 有界，设 $|f(x)g(x)|\leq M$，则
$$\left|\int_a^{a+\varepsilon} f(x)g(x)dx\right| \leq M\varepsilon,\quad \left|\int_{b-\varepsilon}^b f(x)g(x)dx\right| \leq M\varepsilon.$$
因此
$$\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^2(x)dx \leq 2M\varepsilon.$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，令 $\varepsilon\to 0^+$ 得 $\int_a^b f^2(x)dx=0$。
公式：$$\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^2(x)dx \leq 2M\varepsilon$$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，需确保 $\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^2(x)dx$ 单调递增趋于 $\int_a^b f^2(x)dx$。
步骤 3/8
目标：由非负积分推出被积函数为零
由于 $f^2(x)\geq 0$ 且连续，$\int_a^b f^2(x)dx=0$ 蕴含 $f^2(x)\equiv 0$，从而 $f(x)\equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上。
提示：连续非负函数积分为零则函数恒为零，这是连续函数的性质。
步骤 4/8
目标：构造满足零均值条件的函数
令 $c=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$，定义 $g(x)=f(x)-c$。则 $g(x)$ 连续且 $\int_a^b g(x)dx=0$。由条件得 $\int_a^b f(x)g(x)dx=0$。
公式：$$\int_a^b g(x)dx=0$$
提示：注意 $c$ 是常数，$g(x)$ 的构造是常见的技巧。
步骤 5/8
目标：推导 $g^2$ 的积分为零
将 $\int_a^b f(x)g(x)dx=0$ 与 $c\int_a^b g(x)dx=0$ 相减得：
$$\int_a^b (f(x)-c)g(x)dx = \int_a^b g^2(x)dx = 0.$$
公式：$$\int_a^b g^2(x)dx=0$$
提示：注意 $c\int_a^b g(x)dx=0$ 是因为 $\int_a^b g(x)dx=0$。
步骤 6/8
目标：由非负积分推出 $g$ 恒为零
由于 $g(x)$ 连续且 $g^2(x)\geq 0$，$\int_a^b g^2(x)dx=0$ 推出 $g(x)\equiv 0$，即 $f(x)\equiv c$，常数。
提示：与(1)类似，连续非负函数积分为零则函数恒为零。
步骤 7/8
目标：构造满足边界条件的函数
令 $g(x)=f(x)(x-a)^2(x-b)^2$。则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(a)=g(b)=0$。由条件得 $\int_a^b f(x)g(x)dx=0$，即
$$\int_a^b f^2(x)(x-a)^2(x-b)^2 dx = 0.$$
公式：$$\int_a^b f^2(x)(x-a)^2(x-b)^2 dx = 0$$
提示：注意 $(x-a)^2(x-b)^2$ 在端点处为零，保证 $g(a)=g(b)=0$。
步骤 8/8
目标：由非负积分推出 $f$ 恒为零
被积函数 $f^2(x)(x-a)^2(x-b)^2 \geq 0$ 且连续，积分为零推出 $f^2(x)(x-a)^2(x-b)^2 \equiv 0$。因此对任意 $x\in(a,b)$，有 $f(x)=0$。由连续性，$f(a)=\lim_{x\to a^+}f(x)=0$，同理 $f(b)=0$，故 $f(x)\equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上。
提示：注意 $(x-a)^2(x-b)^2$ 在 $(a,b)$ 内非零，因此 $f(x)=0$；端点由连续性得到。
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