中册 4.4 积分估值与积分不等式 第4题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 为 $[-1,1]$ 上的连续函数，且满足条件：对 $[-1,1]$ 上任意连续的偶函数 $g(x)$ ，都有 $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：$f(x)$ 为 $[-1,1]$ 上的奇函数。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
令 $t=-x$ ，则
于是
$$
\begin{aligned}
& 0=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{-1} f(-t) g(-t)(-\mathrm{d} t)=\int_{-1}^{1} f(-x) g(x) \mathrm{d} x . \\
& \int_{-1}^{1}(f(x)+f(-x)) g(x) \mathrm{d} x=0 .
\end{aligned}
$$
记 $F(x)=f(x)+f(-x)$ ，则 $F(x)$ 为 $[-1,1]$ 上的连续偶函数．由上式及假设条件得
$$
0=\int_{-1}^{1}[f(x)+f(-x)] F(x) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{1}(f(x)+f(-x))^{2} \mathrm{~d} x .
$$
而被积函数在 $[-1,1]$ 上连续非负，故 $f(x)+f(-x) \equiv 0$ ，即 $f(-x)=-f(x)$ ．所以 $f(x)$ 为 $[-1,1]$ 上的奇函数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用变量代换转化积分
令 $t = -x$，则 $x = -t$，$\mathrm{d}x = -\mathrm{d}t$，且当 $x$ 从 $-1$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $1$ 到 $-1$。代入已知条件 $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d}x = 0$，其中 $g(x)$ 是任意连续的偶函数，得：
$$0 = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d}x = \int_{1}^{-1} f(-t) g(-t) (-\mathrm{d}t) = \int_{-1}^{1} f(-t) g(-t) \mathrm{d}t.$$
公式：变量代换公式
提示：注意积分限的变化：当 $x$ 从 $-1$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $1$ 到 $-1$，交换上下限会引入负号。
步骤 2/6
目标：利用偶函数性质简化
由于 $g(x)$ 是偶函数，有 $g(-t) = g(t)$。因此上式化为：
$$0 = \int_{-1}^{1} f(-t) g(t) \mathrm{d}t.$$
将积分变量 $t$ 改回 $x$，得：
$$0 = \int_{-1}^{1} f(-x) g(x) \mathrm{d}x.$$
公式：偶函数性质：$g(-x)=g(x)$
提示：注意变量替换后，被积函数中的 $g(-t)$ 要替换为 $g(t)$。
步骤 3/6
目标：合并两个积分表达式
由已知条件 $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d}x = 0$ 和上一步得到的 $\int_{-1}^{1} f(-x) g(x) \mathrm{d}x = 0$，两式相加得：
$$\int_{-1}^{1} [f(x) + f(-x)] g(x) \mathrm{d}x = 0.$$
提示：注意两个积分都是对 $x$ 从 $-1$ 到 $1$，被积函数相加即可。
步骤 4/6
目标：构造特殊偶函数
记 $F(x) = f(x) + f(-x)$，则 $F(x)$ 是连续函数，且 $F(-x) = f(-x) + f(x) = F(x)$，所以 $F(x)$ 是偶函数。由上式，对任意连续的偶函数 $g(x)$，有 $\int_{-1}^{1} F(x) g(x) \mathrm{d}x = 0$。特别地，取 $g(x) = F(x)$，则 $F(x)$ 是偶函数，满足条件，代入得：
$$0 = \int_{-1}^{1} F(x) \cdot F(x) \mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} [f(x) + f(-x)]^2 \mathrm{d}x.$$
提示：注意 $F(x)$ 是偶函数，所以可以取 $g=F$。
步骤 5/6
目标：由非负积分推出被积函数为零
被积函数 $[f(x)+f(-x)]^2$ 在 $[-1,1]$ 上连续且非负，其积分为零，因此被积函数恒为零，即对任意 $x \in [-1,1]$，有 $[f(x)+f(-x)]^2 = 0$，从而 $f(x)+f(-x)=0$。
公式：非负连续函数积分为零则函数恒为零
提示：注意连续性和非负性是关键，否则不能直接推出函数为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $f(x)+f(-x)=0$ 得 $f(-x) = -f(x)$，即 $f(x)$ 是 $[-1,1]$ 上的奇函数。
公式：奇函数定义：$f(-x)=-f(x)$
提示：注意奇函数的定义域关于原点对称。
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