中册 4.4 积分估值与积分不等式 第8题

\section*{解题过程：} （1）对任意正整数 $n$ ，由假设条件和微分中值定理得 $$ \begin{aligned} \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| & =\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right|=\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left(f(x)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right) \mathrm{d} x\right| \\ & \leqslant \sum_{i=1}^{n} \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left|f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right|\left(\frac{i}{n}-x\right) \mathrm{d} x \leqslant M \sum_{i=1}^{n} \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left(\frac{i}{n}-x\right) \mathrm{d} x \\ & \leqslant M \sum_{i=1}^{n} \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}} \frac{1}{n} \mathrm{~d} x=\frac{M}{n}, \text { 其中 } \frac{i-1}{n}=x_{i-1} \leqslant x \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i}=\frac{i}{n} . \end{aligned} $$ （2）由假设条件和微分中值定理得 $$ \begin{aligned} & \left|\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \\ & =\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a+\frac{i-1}{n}(b-a)}^{a+\frac{i}{n}(b-a)} f(x) \mathrm{d} x-\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)\right|=\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a+\frac{i-1}{n}(b-a)}^{a+\frac{i}{n}(b-a)}\left[f(x)-f\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)\right] \mathrm{d} x\right| \\ & \leqslant\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a+\frac{i-1}{n}(b-a)}^{a+\frac{i}{n}(b-a)} f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\left[x-\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)\right] \mathrm{d} x\right| \leqslant M\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{a+\frac{i-1}{n}(b-a)}^{a+\frac{i}{n}(b-a)}\left[x-\left(a+\frac{b-a}{n} i\right)\right] \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{n}(b-a)^{2}, \end{aligned} $$ 其中 $\displaystyle a+\frac{i-1}{n}(b-a) \leqslant \xi_{i} \leqslant a+\frac{i}{n}(b-a)$ ． （3）由定积分性质有 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{d} x, \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f\left(\frac{k}{n}\right) \mathrm{d} x$ 。于是 $$ \begin{aligned} \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| & =\left|\sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left[f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right] \mathrm{d} x\right| \leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \mathrm{d} x \\ & \leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} M\left|x-\frac{k}{n}\right| \mathrm{d} x=M \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(\frac{k}{n}-x\right) \mathrm{d} x=\frac{M}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}}=\frac{M}{2 n} . \end{aligned} $$ （4）由已知，对任意 $x, y$ 都有 $|f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y|$ ．由（3）得证． （5）$\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right|=\left|\sum_{i=1}^{n} \int_{\frac{i=1}{n}}^{\frac{i}{n}} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right|$ $$ \leqslant \frac{1}{n}\left|\sum_{i=1}^{n}\left[f\left(\frac{i-1}{n}\right)-f\left(\frac{i}{n}\right)\right]\right| \leqslant \frac{1}{n}(f(0)-f(1)) . $$ 几何意义：曲边梯形的面积 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 用不超过它的 $n$ 个矩形的面积之和 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$ 代替，其误差不超过 $\displaystyle \frac{1}{n}(f(0)-f(1))$ ． （6）由于 $g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-1 \neq 0, g(0)=f(0)-0=f(0), g(1)=f(1)-1=f(0)-1 \leqslant f(0)$ ，故 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 严格单调递减． $$ \begin{aligned} 0 & \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)-\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)-\sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} g(x) \mathrm{d} x \\ & \leqslant \frac{1}{n}\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left[g\left(\frac{k-1}{n}\right)-g\left(\frac{k}{n}\right)\right]\right| \leqslant \frac{1}{n}(g(0)-g(1))=\frac{1}{n} . \end{aligned} $$ 又 $\displaystyle \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}(f(x)-x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ，所以 $\displaystyle -\frac{n}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)<-\frac{n}{2}+1$ ，即 $\displaystyle 0<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{n}{2}<1$ ．于是 $$ -\frac{1}{2}<\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{n}{2}-\frac{1}{2}<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} . $$ 又 $$ \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)+\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n}=\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{n-1}{2}=\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)+\frac{n}{2}-\frac{1}{2} . $$ 所以 $\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$ ． （7）因为函数 $f(x)$ 在 $[m, \xi]$ 上单调，所以函数 $f(x)$ 在 $[m, \xi]$ 上可积，又因为 $f(x)$ 为 $[m, \xi]$ 上的非负单增函数，所以 $\int_{k}^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f(k), k=m, m+1, m+2, \cdots,[\xi]$（这里 $[\xi]$ 表示不大于 $\xi$ 的最大正整数）．于是 $$ \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right|=\left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\sum_{k=m}^{\xi-1} \int_{k}^{k+1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant\left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\sum_{k=m}^{\xi-1} f(k)\right| . $$ 又 $\xi-1<[\xi] \leqslant \xi$ ，所以 $$ \left|\sum_{k=m}^{|\xi|} f(k)-\sum_{k=m}^{\xi-1} f(k)\right| \leqslant\left|\sum_{k=m}^{\xi} f(k)-\sum_{k=m}^{\xi-1} f(k)\right|=|f(\xi)| $$ 而 $f(\xi) \geqslant 0$ ，故 $$ \left|\sum_{k=m}^{[\xi]} f(k)-\int_{m}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant f(\xi) $$