中册 4.4 积分估值与积分不等式 第9题
📝 题目
9．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，且 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a>0$ ．证明 $\exists \xi \in[0,2]$ 使 $|f(\xi)| \geqslant a$.
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \cdots, \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, n>1
$$
求证在 $[0,1]$ 的某一部分上有 $|f(x)| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．（吉林犬学）
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明 $\exists x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right|>4$ 。
（4）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明：存在 $x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 12$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，所以 $|f(x)|$ 在 $[0,2]$ 上连续．故 $\exists \xi \in[0,2]$ 使 $|f(\xi)|=\max _{[0,2]}|f(x)|$ ．于是
$$
a=\left|\int_{0}^{2}(x-1) f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{0}^{2}|x-1 \| f(x)| \mathrm{d} x \leqslant|f(\xi)| \int_{0}^{2}|x-1| \mathrm{d} x=|f(\xi)|
$$
（2）由已知条件，对任意 $a \in \mathbf{R}$ 有 $\int_{0}^{1}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．下面用反证法证明．
假设在 $[0,1]$ 内有 $|f(x)|<2^{n}(n+1)$ ．取 $\displaystyle a=\frac{1}{2}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{0}^{1}(x-a)^{n} f(x) \mathrm{d} x\right| & <2^{n}(n+1) \int_{0}^{1}|x-a|^{n} \mathrm{~d} x=2^{n}(n+1) \int_{0}^{1}\left|x-\frac{1}{2}\right|^{n} \mathrm{~d} x \\
& =2^{n}(n+1)\left[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}-x\right)^{n} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x\right]=1
\end{aligned}
$$
矛盾。于是存在 $x_{0} \in[0,1]$ 使得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right| \geqslant 2^{n}(n+1)$ ．再由保号性得证．
（3）为（2）中 $n=2$ 的情形．
（4）为（2）中 $n=3$ 的情形。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助积分
注意到 $\int_0^2 f(x) dx = 0$，因此 $\int_0^2 (x-1) f(x) dx = \int_0^2 x f(x) dx - \int_0^2 f(x) dx = a - 0 = a$。
公式：$\int_0^2 (x-1) f(x) dx = a$
提示：利用线性性质将已知条件组合
步骤 2/5
目标：应用绝对值不等式
由绝对值不等式，$a = \left| \int_0^2 (x-1) f(x) dx \right| \le \int_0^2 |x-1| |f(x)| dx$。
公式：$\left|\int g\right| \le \int |g|$
提示：注意绝对值不等式的方向
步骤 3/5
目标：利用最大值估计
由于 $f$ 连续，$|f|$ 在 $[0,2]$ 上有最大值，设 $M = \max_{[0,2]} |f(x)| = |f(\xi)|$，则 $\int_0^2 |x-1| |f(x)| dx \le M \int_0^2 |x-1| dx$。
公式：$\int |x-1| |f(x)| dx \le M \int |x-1| dx$
提示：最大值存在性由连续函数保证
步骤 4/5
目标：计算积分
计算 $\int_0^2 |x-1| dx = \int_0^1 (1-x) dx + \int_1^2 (x-1) dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。
公式：$\int_0^2 |x-1| dx = 1$
提示：分段积分时注意绝对值处理
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $a \le M = |f(\xi)|$，即存在 $\xi \in [0,2]$ 使得 $|f(\xi)| \ge a$。
提示：结论直接由不等式链得到
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