中册 4.4 积分估值与积分不等式 第10题
📝 题目
10．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ．证明：（1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 内连续；
（2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right| \leqslant \frac{1}{2}(b-a)^{2}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）连续性显然．
（2）$\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-(b-a) f(a)\right|=\left|\int_{a}^{b}(f(x) \mathrm{d} x-f(a)) \mathrm{d} x\right|$
$$
\leqslant \int_{a}^{b}|f(x)-f(a)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b}|x-a| \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(b-a)^{2}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明函数在区间内连续
由条件 $\forall x_1, x_2 \in [a,b]$ 有 $|f(x_1)-f(x_2)| \leq |x_1-x_2|$。对于任意 $x_0 \in [a,b]$，取 $x_1=x$，$x_2=x_0$，则 $|f(x)-f(x_0)| \leq |x-x_0|$。因此，对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$，故 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 内连续。
公式：|f(x)-f(x_0)| \leq |x-x_0|
提示：注意连续性定义中 $\delta$ 的选取：由条件直接得到 $\delta=\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：将待证不等式左边转化为积分形式
考虑 $\left|\int_a^b f(x) \, dx - (b-a)f(a)\right|$。由于 $(b-a)f(a) = \int_a^b f(a) \, dx$，所以原式等于 $\left|\int_a^b [f(x)-f(a)] \, dx\right|$。
公式：\int_a^b f(a) \, dx = (b-a)f(a)
提示：注意常数函数的积分性质。
步骤 3/6
目标：应用绝对值不等式放缩
由积分绝对值的三角不等式：$\left|\int_a^b g(x) \, dx\right| \leq \int_a^b |g(x)| \, dx$，其中 $g(x)=f(x)-f(a)$。因此 $\left|\int_a^b [f(x)-f(a)] \, dx\right| \leq \int_a^b |f(x)-f(a)| \, dx$。
公式：\left|\int_a^b g(x) \, dx\right| \leq \int_a^b |g(x)| \, dx
提示：注意绝对值不等式方向，不要忘记积分号内的绝对值。
步骤 4/6
目标：利用已知条件放缩被积函数
由题目条件，对任意 $x \in [a,b]$，有 $|f(x)-f(a)| \leq |x-a|$。因为 $x \geq a$，所以 $|x-a| = x-a$。于是 $\int_a^b |f(x)-f(a)| \, dx \leq \int_a^b (x-a) \, dx$。
公式：|f(x)-f(a)| \leq |x-a| = x-a \quad (x \geq a)
提示：注意 $x \in [a,b]$ 时 $x-a \geq 0$，绝对值可直接去掉。
步骤 5/6
目标：计算定积分
计算 $\int_a^b (x-a) \, dx$。令 $u=x-a$，则 $du=dx$，积分限变为 $0$ 到 $b-a$，所以 $\int_a^b (x-a) \, dx = \int_0^{b-a} u \, du = \frac{1}{2}(b-a)^2$。
公式：\int_a^b (x-a) \, dx = \frac{1}{2}(b-a)^2
提示：注意积分变量替换或直接使用牛顿-莱布尼茨公式。
步骤 6/6
目标：综合得到最终不等式
由以上步骤，$\left|\int_a^b f(x) \, dx - (b-a)f(a)\right| \leq \int_a^b |f(x)-f(a)| \, dx \leq \int_a^b (x-a) \, dx = \frac{1}{2}(b-a)^2$，即证。
提示：注意每一步的不等号方向保持一致。
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