中册 4.4 积分估值与积分不等式 第15题
📝 题目
15．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且当 $x \in(0,1)$ 时， $0\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，$f(a)=0, f^{\prime}(x) \geqslant 1$ ．证明
$$
\int_{a}^{b}(f(x))^{3} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \text {. }
$$
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $0 \leqslant f(x) \leqslant x$ 。试证： $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，并求等号成立时所有的 $f(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：只需证明：$\displaystyle \frac{\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}}{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}>1$ 令 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}, G(x)=\int_{0}^{x} f^{3}(t) \mathrm{d} t$ 。由 Cauchy中值定理得
$$
\begin{aligned}
\frac{\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}}{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x} & =\frac{F(1)-F(0)}{G(1)-G(0)}=\frac{F^{\prime}(\xi)}{G^{\prime}(\xi)}=\frac{2 f(\xi) \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t}{f^{3}(\xi)}=\frac{2 \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t}{f^{2}(\xi)}=\frac{2 \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t-2 \int_{0}^{0} f(t) \mathrm{d} t}{f^{2}(\xi)-f^{2}(0)} \\
& =\frac{2 f(\eta)}{2 f(\eta) f^{\prime}(\eta)}=\frac{1}{f^{\prime}(\eta)}>1,(0<\xi<1,0<\eta<\xi<1)
\end{aligned}
$$
方法 2：令 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}-\int_{0}^{x} f^{3}(t) \mathrm{d} t$ ，则
$$
F^{\prime}(x)=2 f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{3}(x)=f(x)\left(2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{2}(x)\right)
$$
记 $g(x)=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{2}(x)$ ，则 $g(0)=0$ ，且 $\forall x \in(0,1)$ 有
$$
g^{\prime}(x)=2 f(x)-2 f(x) f^{\prime}(x)=2 f(x)\left(1-f^{\prime}(x)\right)>0
$$
又因为 $f^{\prime}(x) \in(0,1)$ ，且 $f(0)=0$ ，则 $f(x)>0$ ，从而得 $F^{\prime}(x)>0$ ．又 $F(0)=0$ ，故 $F(x)>0$ ．
特别地，$F(1)>0$ ，即 $\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$ 。
方法 3：记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ．由 $f^{\prime}(x)>0$ 得 $f(x)$ 递增，于是 $f(x)>f(0)=0$ ．
再结合条件 $0\int_{0}^{x} f(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\left.\frac{1}{2} f^{2}(t)\right|_{0} ^{x}=\frac{1}{2} f^{2}(x) . \\
\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} F(x)=\left.F^{2}(x)\right|_{0} ^{1}=F^{2}(1)=\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} .
\end{gathered}
$$
（2）与（1）类似．
（3）令 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}-\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，则
$$
F^{\prime}(x)=2 f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x^{2} f(x)=f(x)\left(2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x^{2}\right)
$$
记 $g(x)=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x^{2}$ ，则 $g(0)=0$ ，且 $\forall x \in(0,1)$ 有
$$
g^{\prime}(x)=2 f(x)-2 x=2(f(x)-x)<0
$$
由此得 $g(x)<0$ ，从而 $F^{\prime}(x)<0$ ．又 $F(0)=0$ ，故 $F(x)<0$ ．
特别地，$F(1)<0$ ，即 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．
当 $f(x)=0$ 或 $f(x)=x$ 时， $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．
若 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ，则由 $F(x)$ 的单调性，对 $\forall x \in(0,1), \int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t-\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}=0$ ．
于是 $x^{2} f(x)-2 f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
若 $f(x) \equiv 0$ ，式子成立．否则 $x^{2}=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．解之得 $f(x)=x$ ．
综上，当且仅当 $f(x)=0$ 或 $f(x)=x$ 时， $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数并应用柯西中值定理（方法1）
令 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}$，$G(x)=\int_{0}^{x} f^{3}(t) \mathrm{d} t$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使得
\[
\frac{\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}}{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}=\frac{F(1)-F(0)}{G(1)-G(0)}=\frac{F^{\prime}(\xi)}{G^{\prime}(\xi)}=\frac{2 f(\xi) \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t}{f^{3}(\xi)}=\frac{2 \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t}{f^{2}(\xi)}.
\]
公式：柯西中值定理：$\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$
提示：注意柯西中值定理的条件：$F$和$G$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$G'(x) \neq 0$。
步骤 2/8
目标：再次应用柯西中值定理
对分子分母再次应用柯西中值定理，存在 $\eta \in(0,\xi)$ 使得
\[
\frac{2 \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t}{f^{2}(\xi)}=\frac{2 \int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t-2 \int_{0}^{0} f(t) \mathrm{d} t}{f^{2}(\xi)-f^{2}(0)}=\frac{2 f(\eta)}{2 f(\eta) f^{\prime}(\eta)}=\frac{1}{f^{\prime}(\eta)}.
\]
公式：柯西中值定理
提示：注意$f(0)=0$，且$f$可微，$f'(\eta)$存在。
步骤 3/8
目标：利用导数范围得到不等式
由条件 $01$，因此
\[
\frac{\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}}{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}>1,
\]
即 $\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}>\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x$。
提示：注意$f'(\eta)$在$(0,1)$内，所以$f'(\eta)>0$，倒数大于1。
步骤 4/8
目标：构造辅助函数并求导（方法2）
令 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}-\int_{0}^{x} f^{3}(t) \mathrm{d} t$，则 $F(0)=0$，且
\[
F^{\prime}(x)=2 f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{3}(x)=f(x)\left(2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{2}(x)\right).
\]
公式：莱布尼茨法则
提示：求导时注意积分上限函数的导数。
步骤 5/8
目标：分析辅助函数的导数符号
令 $g(x)=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{2}(x)$，则 $g(0)=0$，且
\[
g^{\prime}(x)=2 f(x)-2 f(x) f^{\prime}(x)=2 f(x)\left(1-f^{\prime}(x)\right)>0,
\]
因为 $f(x)>0$（由 $f(0)=0$ 和 $f'(x)>0$ 推出）且 $f'(x)<1$。因此 $g(x)>0$ 对 $x>0$，从而 $F'(x)>0$，$F(x)$ 严格递增，$F(1)>0$，即得不等式。
提示：注意$f(x)>0$的证明：由$f'(x)>0$和$f(0)=0$，得$f(x)>0$。
步骤 6/8
目标：利用积分不等式（方法3）
令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F'(x)=f(x)$。由 $f'(x)>0$ 得 $f$ 递增，$f(x)>0$。又 $0 \int_{0}^{x} f(t) f'(t) \mathrm{d} t = \frac{1}{2} f^2(x).
\]
于是
\[
\int_{0}^{1} f^3(x) \mathrm{d} x = \int_{0}^{1} f^2(x) \mathrm{d} F(x) \le 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} F(x) = F^2(1) = \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^2.
\]
公式：分部积分或积分不等式
提示：注意$f^2(x) < 2F(x)$，所以$f^2(x) \mathrm{d}F(x) < 2F(x) \mathrm{d}F(x)$。
步骤 7/8
目标：证明第二问
与第一问类似，构造 $F(x)=\left(\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}-\int_{a}^{x} f^{3}(t) \mathrm{d} t$，则 $F(a)=0$，且
\[
F'(x)=2f(x)\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t - f^3(x) = f(x)\left(2\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t - f^2(x)\right).
\]
令 $g(x)=2\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t - f^2(x)$，则 $g(a)=0$，$g'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x)) \le 0$（因为 $f'(x) \ge 1$），故 $g(x) \le 0$，$F'(x) \le 0$，$F(x)$ 递减，$F(b) \le 0$，即得不等式。
提示：注意$f'(x) \ge 1$，所以$1-f'(x) \le 0$，$g'(x) \le 0$。
步骤 8/8
目标：证明第三问并求等号条件
令 $F(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}-\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F(0)=0$，且
\[
F'(x)=2f(x)\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - x^2 f(x) = f(x)\left(2\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - x^2\right).
\]
令 $g(x)=2\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - x^2$，则 $g(0)=0$，$g'(x)=2f(x)-2x \le 0$（因为 $f(x) \le x$），故 $g(x) \le 0$，$F'(x) \le 0$，$F(x)$ 递减，$F(1) \le 0$，即得不等式。等号成立时，$F(1)=0$，由单调性知 $F(x) \equiv 0$，从而 $F'(x)=0$，即 $f(x)\left(2\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - x^2\right)=0$。若 $f(x) \equiv 0$，成立；否则 $2\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t = x^2$，求导得 $2f(x)=2x$，即 $f(x)=x$。故等号成立当且仅当 $f(x)=0$ 或 $f(x)=x$。
提示：注意等号成立时需考虑$f(x)$恒为零的情况。
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