中册 4.4 积分估值与积分不等式 第16题

\section*{解题过程：} （1）方法 1：改写 $\int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x+\alpha \int_{\alpha}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 为 $$ (1-\alpha) \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{\alpha}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text { 或 } \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. } $$ 问题等价于证明：对任意 $\alpha \in[0,1]$ ，成立 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ． 由定积分中值定理，$\exists \xi_{1} \in[0, a]$ ，使 $(1-a) \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=a(1-a) f\left(\xi_{1}\right)$ ； $$ \exists \xi_{2} \in[a, 1] \text {, 使 } a \int_{a}^{1} f(x) \mathrm{d} x=a(1-a) f\left(\xi_{2}\right) $$ 显然，$\xi_{1} \leqslant \xi_{2}$ ．由 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调不增有 $f\left(\xi_{1}\right) \geqslant f\left(\xi_{2}\right)$ ．故原不等式 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \geqslant a \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$成立． 方法 2：设 $F(\alpha)=\int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x-\alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F^{\prime}(\alpha)=f(\alpha)-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。由积分第一中值定理，$\exists \xi \in[0,1]$ 使得 $f(\xi)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，即 $F^{\prime}(\alpha)=f(\alpha)-f(\xi)$ ． 由于 $f(x)$ 单调减少，所以当 $0<\alpha<\xi$ 时，$F^{\prime}(\alpha) \geqslant 0$ ，即 $F(\alpha)$ 单调增加；当 $\xi<\alpha<1$时，$F^{\prime}(\alpha) \leqslant 0$ ，即 $F(\alpha)$ 单 调 减 少．由 $F(0)=F(1)=0$ 得 $\forall \alpha \in[0,1]$ ，成 立 $F(\alpha) \geqslant 0$ ，即 $\int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$. 方法3：当 $\alpha=0$ 时，不等式显然成立． 当 $\alpha \in(0,1]$ 时，令 $x=\alpha t$ ，利用 $f(x)$ 单调减少得 $$ \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x=\alpha \int_{0}^{1} f(\alpha t) \mathrm{d} t \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t $$ 令 $F(x)=\alpha \int_{0}^{x} f(\alpha t) \mathrm{d} t-\alpha \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)=\alpha f(\alpha x)-\alpha f(x) \geqslant 0$ ，所以 $F(x)$ 单调增加．又因为 $F(0)=0$ ，所以 $F(1) \geqslant F(0)=0$ ，即 $\alpha \int_{0}^{1} f(\alpha t) \mathrm{d} t-\alpha \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \geqslant 0$ ，所以 $\int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \alpha \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ． （2）在 $[0, \alpha]$ 上 $f(x) \geqslant f(\alpha)$ ，故 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} f(\alpha) \mathrm{d} x=f(\alpha)$ ．由中值定理，$\displaystyle \frac{1}{\beta-\alpha} \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=f\left(\xi_{1}\right), \alpha<\xi_{1}<\beta$ ，于是 $$ \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\alpha} f(\alpha) \mathrm{d} x=f(\alpha) \geqslant \frac{1}{\beta-\alpha} \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x $$ 从而 $$ \left(\frac{\beta}{\alpha}-1\right) \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x . $$ 两边同乘 $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}$ 得 $\displaystyle \quad\left(1-\frac{\alpha}{\beta}\right) \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{\alpha}{\beta} \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ 。 又由 $0<\alpha<\beta<1$ 得 $\displaystyle 1-\frac{\alpha}{\beta}<1$ ．由 $f(x)>0$ 有 $\int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，故 $\beta \int_{0}^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x>\alpha \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （3）转换为证明 $x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x$ ． 由（1）得 $x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，即 $x F(1) \leqslant F(x)$ ． 对 $x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=F(x)$ 积分得 $$ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x \text {, 即 } \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x \text {. } $$ 由 $f(x) \geqslant 0$ 得 $\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=F(x)$ ．于是 $x F(1) \leqslant F(x) \leqslant 2 \int_{0}^{1} F(x) \mathrm{d} x$ ．