中册 4.4 积分估值与积分不等式 第18题
📝 题目
18．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调增加，$f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}$ ．
（2）设 $p(x), f(x), g(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，$f(x), g(x)$ 单调增加，$p(x)>0$ 。试证明：
$\int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 。南京农大2009，南京大学1992）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：作辅助函数 $F(t)=\int_{0}^{t} f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{t} x f^{2}(x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{t} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{t} x f^{3}(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F(0)=0$ ，且
$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(t) & =f^{3}(t) \int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x+t f^{2}(t) \int_{0}^{t} f^{3}(x) \mathrm{d} x-f^{2}(t) \int_{0}^{t} x f^{3}(x) \mathrm{d} x-t f^{3}(t) \int_{0}^{t} f^{2}(x) \mathrm{d} x \\
& =\int_{0}^{t}\left(x f^{2}(x) f^{3}(t)+t f^{2}(t) f^{3}(x)-x f^{3}(x) f^{2}(t)-t f^{3}(t) f^{2}(x)\right) \mathrm{d} x \\
& =\int_{0}^{t} f^{2}(x) f^{2}(t)(x f(t)+t f(x)-x f(x)-t f(t)) \mathrm{d} x=\int_{0}^{t} f^{2}(x) f^{2}(t)(x-t)(f(t)-f(x)) \mathrm{d} x \\
& =-\int_{0}^{t} f^{2}(x) f^{2}(t)(t-x)(f(t)-f(x)) \mathrm{d} x \leqslant 0
\end{aligned}
$$
所以 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调减少，故 $F(1) \leqslant F(0)=0$ ．
方法 2：设 $I=\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，则
$$
I=\iint_{D} x f^{3}(x) f^{2}(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D} f^{3}(x) f^{2}(y) y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} f^{3}(x) f^{2}(y)(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
同样有
$$
I=\iint_{D} f^{2}(x) f^{3}(y)(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
于是
$$
2 I=\iint_{D}(x-y) f^{2}(x) f^{3}(y)(f(x)-f(y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调增加，故 $(x-y)(f(x)-f(y)) \geqslant 0$ ．于是 $I \geqslant 0$ ，从而
即
$$
\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x
$$
$$
\frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x} \geqslant \frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x}
$$
（2）设 $I=\int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，则
$$
\begin{aligned}
I & =\int_{a}^{b} p(y) \mathrm{d} y \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(y) g(y) \mathrm{d} y \\
& =\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} p(x) p(y) f(x)(g(x)-g(y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
\end{aligned}
$$
交换 $x$ 与 $y$ 的位置有 $I=\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} p(x) p(y) f(y)(g(y)-g(x)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
于是
$$
I=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} p(x) p(y)(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant 0
$$
从而
$$
\int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并求导（方法1）
令 $F(t)=\int_{0}^{t} f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{t} x f^{2}(x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{t} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{t} x f^{3}(x) \mathrm{d} x$，则 $F(0)=0$。对 $F(t)$ 求导得：
$$
\begin{aligned}
F'(t) &= f^{3}(t) \int_{0}^{t} x f^{2}(x) \mathrm{d} x + t f^{2}(t) \int_{0}^{t} f^{3}(x) \mathrm{d} x \\
&\quad - f^{2}(t) \int_{0}^{t} x f^{3}(x) \mathrm{d} x - t f^{3}(t) \int_{0}^{t} f^{2}(x) \mathrm{d} x \\
&= \int_{0}^{t} \left[ x f^{2}(x) f^{3}(t) + t f^{2}(t) f^{3}(x) - x f^{3}(x) f^{2}(t) - t f^{3}(t) f^{2}(x) \right] \mathrm{d} x \\
&= \int_{0}^{t} f^{2}(x) f^{2}(t) (x f(t) + t f(x) - x f(x) - t f(t)) \mathrm{d} x \\
&= \int_{0}^{t} f^{2}(x) f^{2}(t) (x - t)(f(t) - f(x)) \mathrm{d} x \\
&= -\int_{0}^{t} f^{2}(x) f^{2}(t) (t - x)(f(t) - f(x)) \mathrm{d} x \leq 0.
\end{aligned}
$$
公式：莱布尼茨法则
提示：注意求导时积分上限是变量，需使用含参积分求导公式。
步骤 2/7
目标：利用单调性证明不等式（方法1）
由于 $F'(t) \leq 0$，$F(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，故 $F(1) \leq F(0)=0$，即
$$
\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x.
$$
两边同时除以 $\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x$（注意 $f(x) \neq 0$ 且单调增，故分母为正），得
$$
\frac{\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x} \leq \frac{\int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}.
$$
提示：注意分母不为零的条件，由 $f(x) \neq 0$ 和单调性保证。
步骤 3/7
目标：利用二重积分对称性（方法2）
令 $I = \int_{0}^{1} x f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x - \int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x$。将两个积分写成二重积分形式：
$$
I = \iint_{[0,1]^2} x f^{3}(x) f^{2}(y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y - \iint_{[0,1]^2} f^{3}(x) f^{2}(y) y \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_{[0,1]^2} f^{3}(x) f^{2}(y) (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
$$
交换 $x$ 与 $y$ 的角色，同样可得
$$
I = \iint_{[0,1]^2} f^{2}(x) f^{3}(y) (y-x) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
$$
公式：二重积分交换积分次序
提示：注意二重积分区域是正方形，交换变量时积分区域不变。
步骤 4/7
目标：合并二重积分并利用单调性（方法2）
将两个表达式相加得
$$
2I = \iint_{[0,1]^2} (x-y) f^{2}(x) f^{2}(y) (f(x)-f(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
$$
由于 $f(x)$ 单调增加，当 $x>y$ 时 $f(x)>f(y)$，故 $(x-y)(f(x)-f(y)) \geq 0$；当 $x
提示：注意 $(x-y)(f(x)-f(y))$ 的符号由单调性保证非负。
步骤 5/7
目标：构造第二问的差并化为二重积分
令 $I = \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x - \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x$。将积分写成二重积分形式：
$$
I = \int_{a}^{b} p(y) \mathrm{d} y \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x - \int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(y) g(y) \mathrm{d} y = \iint_{[a,b]^2} p(x) p(y) f(x) (g(x)-g(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
$$
提示：注意将两个单积分乘积转化为二重积分时，变量要区分开。
步骤 6/7
目标：交换变量并合并
交换 $x$ 与 $y$ 的位置，得
$$
I = \iint_{[a,b]^2} p(x) p(y) f(y) (g(y)-g(x)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
$$
将两个表达式相加并除以2，得
$$
I = \frac{1}{2} \iint_{[a,b]^2} p(x) p(y) (f(x)-f(y)) (g(x)-g(y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y.
$$
提示：注意相加后系数为1/2。
步骤 7/7
目标：利用单调性证明非负
由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均单调增加，故 $(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \geq 0$。又 $p(x)>0$，$p(y)>0$，因此被积函数非负，积分 $I \geq 0$。从而
$$
\int_{a}^{b} p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) g(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b} p(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x.
$$
提示：注意单调性保证乘积非负，但需注意 $f$ 和 $g$ 的单调性方向相同。
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