中册 4.4 积分估值与积分不等式 第19题
📝 题目
19．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，且存在 $x_{0} \in(0,1)$ 使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ，求证： $\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上变号，且为连续函数，求证： $\min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且在 $(0,1)$ 内存在极值，求证： $\max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（4）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 存在连续的二阶导数．证明： $\max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant|f(1)-f(0)|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
解题过程：
取积分得
$$
\begin{equation*}
|f(x)|=\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=\left|\int_{x_{0}}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant \int_{x_{0}}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \tag{1}
\end{equation*}
$$
$$
\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t .
$$
（2）（分两段讨论）由介值定理，存在 $\xi \in[0,1], \xi=\inf \{x \mid f(x)>0\}, f(\xi)=0$ ．
若 $x_{\text {min }} \in[0, \xi]$ ，则 $f(x)_{\text {min }}=-\int_{x_{\text {min }}}^{\xi} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t \geqslant-\int_{x_{\text {min }}}^{\xi}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ；
若 $x_{\text {min }} \in[\xi, 1]$ ，则 $f(x)_{\text {min }}=\int_{\xi}^{x_{\text {min }}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t \geqslant-\int_{\xi}^{x_{\text {min }}}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ，
所以 $\min _{[0,1]} f(x) \geqslant-\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．
（3）由已知存在 $x_{0} \in(0,1), f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．对导函数 $f^{\prime}(x)$ 有
$$
\left|f^{\prime}(x)\right|=\left|f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right|=\left|\int_{x_{0}}^{x} f^{\prime \prime}(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant \int_{x_{0}}^{x}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t .
$$
取积分得
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t
$$
（4）由已知条件，存在 $x_{0} \in[0,1],\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right|=\max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ；
由中值定理，存在 $\xi \in(0,1),|f(1)-f(0)|=\left|f^{\prime}(\xi)\right|$ ；
由中值定理，在 $\xi$ 与 $x_{0}$ 之间存在 $t$
$$
\left|f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right|=\left|\int_{\xi}^{x_{0}} f^{\prime \prime}(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant\left|\int_{\xi}^{x_{0}}\right| f^{\prime \prime}(t)|\mathrm{d} t| \leqslant\left|\int_{0}^{1}\right| f^{\prime \prime}(t)|\mathrm{d} t|,
$$
从而
$$
\begin{aligned}
|f(1)-f(0)|+\left|\int_{0}^{1}\right| f^{\prime \prime}(t)|\mathrm{d} t| & \geqslant\left|f^{\prime}(\xi)\right|+\left|f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right| \\
& \geqslant\left|f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right|=\left|f^{\prime}\left(x_{0}\right)\right|=\max _{[0,1]}\left|f^{\prime}(x)\right|
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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