中册 4.4 积分估值与积分不等式 第20题
📝 题目
20．设 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 二阶连续可导，$M=\max _{[0, T]} f(x), m=\min _{[0, T]} f(x)$ ．证明：
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x . \text {. }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
不妨设 $f(x)$ 不为常数或线性函数．由于 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 二阶连续，故存在 $x_{1}, x_{2} \in[0, T]$ 使 $M=f\left(x_{1}\right), m=f\left(x_{2}\right)$ ，且二者之中一定有一个在 $[0, T]$ 内部取得，不妨设 $f^{\prime}\left(x_{1}\right)=0$ 。
对导函数 $f^{\prime}(x)$ ，有
于是
$$
\left|f^{\prime}(x)\right|=\left|f^{\prime}(x)-f^{\prime}\left(x_{1}\right)\right|=\left|\int_{x_{1}}^{x} f^{\prime \prime}(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant \int_{x_{1}}^{x}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t .
$$
$$
\begin{aligned}
f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right) & \leqslant\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}}\right| f^{\prime}(x)|\mathrm{d} x| \leqslant \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(\int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} x \\
& \leqslant \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t \cdot \int_{x_{1}}^{x_{2}} \mathrm{~d} x \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(t)\right| \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$
即
$$
M-m \leqslant T \int_{0}^{T}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数性质，确定极值点
由于 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上二阶连续可导，且非常数或线性函数，故存在 $x_1, x_2 \in [0, T]$ 使得 $M = f(x_1)$, $m = f(x_2)$。因为最大值或最小值至少有一个在区间内部取得，不妨设 $x_1$ 为内部点，则 $f'(x_1)=0$。
提示：注意：若 $f$ 为常数或线性函数，则 $M-m=0$，不等式显然成立。
步骤 2/5
目标：利用牛顿-莱布尼茨公式估计导数
对任意 $x \in [0, T]$，由 $f'(x_1)=0$ 及牛顿-莱布尼茨公式得：
$$f'(x) = f'(x) - f'(x_1) = \int_{x_1}^{x} f''(t) \, dt.$$
取绝对值并利用积分不等式：
$$|f'(x)| = \left| \int_{x_1}^{x} f''(t) \, dt \right| \leq \int_{x_1}^{x} |f''(t)| \, dt \leq \int_0^T |f''(t)| \, dt.$$
公式：$$f'(x) = \int_{x_1}^{x} f''(t) \, dt$$
提示：注意绝对值不等式：$\left|\int_a^b g\right| \leq \int_a^b |g|$。
步骤 3/5
目标：用积分表示函数差值
考虑 $f(x_1) - f(x_2)$，由牛顿-莱布尼茨公式：
$$f(x_1) - f(x_2) = \int_{x_2}^{x_1} f'(x) \, dx.$$
取绝对值并利用积分不等式：
$$|f(x_1) - f(x_2)| \leq \left| \int_{x_2}^{x_1} |f'(x)| \, dx \right| = \int_{\min(x_1,x_2)}^{\max(x_1,x_2)} |f'(x)| \, dx.$$
公式：$$f(x_1)-f(x_2) = \int_{x_2}^{x_1} f'(x) \, dx$$
提示：注意积分上下限顺序，取绝对值后积分区间长度不变。
步骤 4/5
目标：代入导数估计，放缩积分
将上一步得到的 $|f'(x)| \leq \int_0^T |f''(t)| \, dt$ 代入：
$$|f(x_1)-f(x_2)| \leq \int_{x_2}^{x_1} \left( \int_0^T |f''(t)| \, dt \right) dx = \left( \int_0^T |f''(t)| \, dt \right) \cdot |x_1 - x_2|.$$
提示：注意：$\int_0^T |f''(t)| \, dt$ 是常数，可提出积分号。
步骤 5/5
目标：利用区间长度放缩
由于 $x_1, x_2 \in [0, T]$，故 $|x_1 - x_2| \leq T$，因此：
$$|f(x_1)-f(x_2)| \leq T \int_0^T |f''(t)| \, dt.$$
而 $|f(x_1)-f(x_2)| = M - m$，所以：
$$M - m \leq T \int_0^T |f''(x)| \, dx.$$
提示：注意 $M-m$ 是非负的，绝对值可去掉。
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