中册 4.4 积分估值与积分不等式 第21题
📝 题目
21．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，证明： $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{a}^{b}\right| f(x)|\mathrm{d} x|\right\}$ ． （四川大学 2009，南京农大 2008，扬州大学 $2010([a, b]=[0,1])$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由定积分性质，$\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
当 $\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|=\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 时，结论得证。
当 $\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 时，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上变号，存在 $f\left(x_{0}\right)=0$ 。令 $\max _{[a, b]}\{|f(x)|\}=\left|f\left(x_{M}\right)\right|$ 。由中值定理得
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x & =(b-a)|f(\xi)| \leqslant(b-a) \max _{[a, b]}\{|f(x)|\} \leqslant(b-a)\left|f\left(x_{M}\right)\right|=(b-a)\left|f\left(x_{M}\right)-f\left(x_{0}\right)\right| \\
& =(b-a)\left|\int_{x_{0}}^{x_{M}} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant(b-a) \int_{x_{0}}^{x_{M}}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x .
\end{aligned}
$$
故 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{(b-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{a}^{b}\right| f(x)|\mathrm{d} x|\right\}$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析不等式方向，考虑两种情形
由定积分性质，有 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$。因此，若 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| = \int_a^b |f(x)| dx$，则不等式显然成立（右边取最大值时包含此项）。故只需考虑 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| < \int_a^b |f(x)| dx$ 的情形。
公式：|∫_a^b f(x) dx| ≤ ∫_a^b |f(x)| dx
提示：注意区分绝对值和积分次序，不要混淆
步骤 2/6
目标：确定函数变号及零点存在性
当 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| < \int_a^b |f(x)| dx$ 时，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必然变号（否则若 $f(x)$ 不变号，则 $\left|\int_a^b f(x) dx\right| = \int_a^b |f(x)| dx$）。由连续函数介值定理，存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $f(x_0)=0$。
提示：变号是推出零点的关键，注意连续性的使用
步骤 3/6
目标：引入最大值点并应用中值定理
设 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上的最大值为 $M = \max_{[a,b]}|f(x)|$，且最大值在 $x_M$ 处取得，即 $M = |f(x_M)|$。由积分中值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $\int_a^b |f(x)| dx = (b-a)|f(\xi)| \leq (b-a)M$。
公式：∫_a^b |f(x)| dx = (b-a)|f(ξ)|
提示：注意中值定理要求被积函数连续，这里|f(x)|连续
步骤 4/6
目标：利用零点与最大值点建立联系
由于 $f(x_0)=0$，有 $M = |f(x_M)| = |f(x_M)-f(x_0)|$。由牛顿-莱布尼茨公式，$f(x_M)-f(x_0) = \int_{x_0}^{x_M} f'(x) dx$，因此 $M = \left|\int_{x_0}^{x_M} f'(x) dx\right|$。
公式：f(x_M)-f(x_0) = ∫_{x_0}^{x_M} f'(x) dx
提示：注意积分上下限顺序，绝对值处理
步骤 5/6
目标：对导数积分放缩
由绝对值不等式，$\left|\int_{x_0}^{x_M} f'(x) dx\right| \leq \int_{x_0}^{x_M} |f'(x)| dx \leq \int_a^b |f'(x)| dx$。因此 $M \leq \int_a^b |f'(x)| dx$。
公式：|∫_{x_0}^{x_M} f'(x) dx| ≤ ∫_{x_0}^{x_M} |f'(x)| dx ≤ ∫_a^b |f'(x)| dx
提示：注意积分区间扩大，不等式方向
步骤 6/6
目标：综合得到最终不等式
由第3步和第5步，$\int_a^b |f(x)| dx \leq (b-a)M \leq (b-a) \int_a^b |f'(x)| dx$。结合第1步，在两种情形下均有 $\int_a^b |f(x)| dx \leq \max\left\{ (b-a)\int_a^b |f'(x)| dx,\ \left|\int_a^b f(x) dx\right| \right\}$。
提示：注意取最大值确保不等式成立
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