中册 4.4 积分估值与积分不等式 第22题
📝 题目
22．证明下列命题．
（1）$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，$|f(x)| \leqslant M$ ，又存在 $c \in(0,1)$ 使 $\int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：
$$
\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant 2 M(1-c) .
$$
（2）$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数，$f(0)=0, f(1)=1$ ．求证：（1）$\forall x \in[0,1],\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有界且连续可微，满足 $f(x)+f^{\prime}(x) \leqslant 1, x \in \mathbf{R}$ ．试证：$|f(x)| \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\left|\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|=\left|\int_{-1}^{-c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{-c}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{-1}^{-c}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{c}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x$
$$
\leqslant \int_{-1}^{-c} M \mathrm{~d} x+\int_{c}^{1} M \mathrm{~d} x=2 M(1-c) .
$$
（2）记 $F(x)=\mathrm{e}^{-x} f(x)$ ，则 $\displaystyle F(0)=0, F(1)=\frac{1}{\mathrm{e}} . \forall x \in[0,1]$ ，
$$
\left(\mathrm{e}^{-x} f(x)\right)^{\prime}=F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(f^{\prime}(x)-f(x)\right) \leqslant \mathrm{e}^{-x}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \leqslant\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| .
$$
当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}} \leqslant \mathrm{e}^{-x} \leqslant 1$ ．于是
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1}\left|\mathrm{e}^{-x}\left(f^{\prime}(x)-f(x)\right)\right| \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left|F^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(1)-F(0)=\frac{1}{\mathrm{e}} .
$$
（3）由题意，$-\mathrm{e}^{x}<\left(f(x) \mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}<\mathrm{e}^{x}$ ，于是 $\int_{-\infty}^{x}-\mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t<\left.\left(f(x) \mathrm{e}^{x}\right)\right|_{-\infty} ^{x}<\int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ，所以 $|f(x)| \leqslant 1$ 。
📋 详细解题步骤
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