中册 4.4 积分估值与积分不等式 第23题
📝 题目
23．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调下降，且 $f^{\prime}(b)>0$ ，证明
$$
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)} . }
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，$|f(x)| \leqslant \pi$ ，且 $f^{\prime}(x) \geqslant m>0$ ，证明：$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{2}{m}$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1）方法 1：令 $y=f(x)$ ，则由中值定理，$\exists \xi \in[a, b]$ 使得
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| & =\left|\int_{f(a)}^{f(b)} \cos y \frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(y)\right)} \mathrm{d} y\right|=\left|\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(\xi)\right)} \int_{f(a)}^{f(b)} \cos y \mathrm{~d} y\right| \\
& \leqslant \frac{1}{f^{\prime}(b)}|\sin f(b)-\sin f(a)| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)}
\end{aligned}
$$
方法 2：由第二中值定理，$\exists \xi \in[a, b]$ 使得
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{a}^{b} \cos f(x) \mathrm{d} x\right| & =\left|\int_{a}^{b} \frac{f^{\prime}(x) \cos f(x)}{f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x\right|=\frac{1}{f^{\prime}(b)}\left|\int_{\xi}^{b} f^{\prime}(x) \cos f(x) \mathrm{d} x\right| \\
& =\frac{1}{f^{\prime}(b)}|\sin f(b)-\sin f(\xi)| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(b)}
\end{aligned}
$$
（2）由第二中值定理，$\exists \xi \in[a, b]$ 使得
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{a}^{b} \sin f(x) \mathrm{d} x\right| & =\left|\int_{a}^{b} \frac{f^{\prime}(x) \sin f(x)}{f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x\right|=\frac{1}{f^{\prime}(a)}\left|\int_{a}^{\xi} f^{\prime}(x) \sin f(x) \mathrm{d} x\right| \\
& =\frac{1}{f^{\prime}(a)}|\cos f(a)-\cos f(\xi)| \leqslant \frac{2}{f^{\prime}(a)} \leqslant \frac{2}{m} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析题目条件与目标
题目（1）中，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，$f'(x)$ 单调下降且 $f'(b)>0$，需证 $\left|\int_a^b \cos f(x) dx\right| \le \frac{2}{f'(b)}$。题目（2）中，$f(x)$ 可导，$|f(x)|\le \pi$，$f'(x)\ge m>0$，需证 $\left|\int_a^b \sin f(x) dx\right| \le \frac{2}{m}$。
提示：注意区分两个小题的条件差异，特别是单调性和下界条件。
步骤 2/8
目标：（1）方法一：变量替换与积分中值定理
令 $y=f(x)$，则 $x=f^{-1}(y)$，$dx = \frac{dy}{f'(f^{-1}(y))}$。积分变为 $\int_{f(a)}^{f(b)} \cos y \cdot \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} dy$。由积分中值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $\frac{1}{f'(f^{-1}(\eta))}$ 可提出，但更严谨地，由于 $f'(x)$ 单调下降，$\frac{1}{f'(x)}$ 单调上升，利用积分第二中值定理或直接放缩：$\left|\int_{f(a)}^{f(b)} \cos y \cdot \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} dy\right| \le \frac{1}{f'(b)} \left|\int_{f(a)}^{f(b)} \cos y dy\right|$，因为 $\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \le \frac{1}{f'(b)}$（$f'(x)$ 递减，$f'(b)$ 最小）。
公式：$\int_a^b \cos f(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} \cos y \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} dy$
提示：注意 $f'(x)$ 单调下降意味着 $f'(x) \ge f'(b)$，因此 $\frac{1}{f'(x)} \le \frac{1}{f'(b)}$。
步骤 3/8
目标：（1）方法一：计算积分并放缩
计算 $\left|\int_{f(a)}^{f(b)} \cos y dy\right| = |\sin f(b) - \sin f(a)| \le 2$。因此 $\left|\int_a^b \cos f(x) dx\right| \le \frac{1}{f'(b)} \cdot 2 = \frac{2}{f'(b)}$。
公式：$|\sin f(b)-\sin f(a)| \le 2$
提示：正弦函数值域为 $[-1,1]$，差绝对值不超过2。
步骤 4/8
目标：（1）方法二：利用积分第二中值定理
将积分写为 $\int_a^b \frac{1}{f'(x)} \cdot f'(x) \cos f(x) dx$。由于 $\frac{1}{f'(x)}$ 单调递减（因为 $f'(x)$ 单调递减且为正），由积分第二中值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $\int_a^b \frac{1}{f'(x)} \cdot f'(x) \cos f(x) dx = \frac{1}{f'(b)} \int_\xi^b f'(x) \cos f(x) dx$。
公式：积分第二中值定理：若 $g$ 单调，则 $\int_a^b g(x)h(x)dx = g(a)\int_a^\xi h(x)dx + g(b)\int_\xi^b h(x)dx$
提示：注意 $\frac{1}{f'(x)}$ 单调递减，且 $f'(x)>0$，所以 $\frac{1}{f'(b)}$ 是最小值，出现在右端点。
步骤 5/8
目标：（1）方法二：计算积分并放缩
计算 $\int_\xi^b f'(x) \cos f(x) dx = \sin f(b) - \sin f(\xi)$，其绝对值 $\le 2$。因此 $\left|\int_a^b \cos f(x) dx\right| \le \frac{1}{f'(b)} \cdot 2 = \frac{2}{f'(b)}$。
公式：$\int f'(x) \cos f(x) dx = \sin f(x) + C$
提示：注意原函数为 $\sin f(x)$，代入上下限。
步骤 6/8
目标：（2）利用积分第二中值定理
将积分写为 $\int_a^b \frac{1}{f'(x)} \cdot f'(x) \sin f(x) dx$。由于 $f'(x) \ge m >0$，$\frac{1}{f'(x)}$ 单调递减（因为 $f'(x)$ 单调？题目未说单调，但 $f'(x) \ge m>0$ 且可导，但未保证单调性。实际上，这里需要 $\frac{1}{f'(x)}$ 单调，但题目没有给出 $f'$ 单调的条件。然而，我们可以利用 $f'(x) \ge m$ 直接放缩：$\left|\int_a^b \sin f(x) dx\right| \le \int_a^b |\sin f(x)| dx \le b-a$，但这样得不到 $2/m$。所以原解答使用了第二中值定理，但需要 $\frac{1}{f'(x)}$ 单调。实际上，题目（2）没有 $f'$ 单调的条件，但原解答假设了 $\frac{1}{f'(x)}$ 单调？或者我们可以用另一种方法：由于 $f'(x) \ge m$，$f(x)$ 严格单调，可作变量替换 $y=f(x)$，则 $dx = dy/f'(x)$，且 $f'(x) \ge m$，所以 $\left|\int_a^b \sin f(x) dx\right| = \left|\int_{f(a)}^{f(b)} \sin y \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} dy\right| \le \frac{1}{m} \left|\int_{f(a)}^{f(b)} \sin y dy\right| = \frac{1}{m} |\cos f(a) - \cos f(b)| \le \frac{2}{m}$。这里不需要 $f'$ 单调，只需 $f'(x) \ge m$。
公式：$\int_a^b \sin f(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} \sin y \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} dy$
提示：注意 $f'(x) \ge m$ 意味着 $\frac{1}{f'(x)} \le \frac{1}{m}$，因此可以放缩。
步骤 7/8
目标：（2）计算积分并放缩
计算 $\left|\int_{f(a)}^{f(b)} \sin y dy\right| = |\cos f(a) - \cos f(b)| \le 2$。因此 $\left|\int_a^b \sin f(x) dx\right| \le \frac{1}{m} \cdot 2 = \frac{2}{m}$。
公式：$|\cos f(a) - \cos f(b)| \le 2$
提示：余弦函数值域 $[-1,1]$，差绝对值不超过2。
步骤 8/8
目标：总结与注意事项
两个小题均通过变量替换或积分中值定理，将积分转化为三角函数积分，并利用导数条件进行放缩。关键点：利用 $f'(x)$ 的单调性或下界得到 $\frac{1}{f'(x)}$ 的上界，从而将积分绝对值放大为 $\frac{1}{f'(b)}$ 或 $\frac{1}{m}$ 乘以一个不超过2的三角函数差值。
提示：注意（1）中 $f'(x)$ 单调下降保证 $f'(b)$ 最小；（2）中 $f'(x) \ge m$ 保证 $1/f'(x) \le 1/m$。另外，变量替换时需保证 $f$ 严格单调，题目条件隐含了这一点（$f'(b)>0$ 或 $f'(x) \ge m>0$）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。