中册 4.4 积分估值与积分不等式 第24题
📝 题目
24．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 为 $[0,2 \pi]$ 上单调递减函数，证明：对任何正整数 $n$ ，恒有 $\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x \geqslant 0$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上导函数连续，$f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．求证：对任意自然数 $n$ 有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $g(x)=f(x)-f(2 \pi)$ ．由题设知，$g(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上为非负、递减函数．由积分第二中值定理，存在 $\xi_{n} \in[0,2 \pi]$ 使得
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x & =\int_{0}^{2 \pi} g(x) \sin n x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{2 \pi} f(2 \pi) \sin n x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2 \pi} g(x) \sin n x \mathrm{~d} x \\
& =g(0) \int_{0}^{\xi_{n}} \sin n x \mathrm{~d} x=g(0) \cdot \frac{1-\cos n \xi_{n}}{n} \geqslant 0
\end{aligned}
$$
（2）由分部积分法得
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| & =\frac{1}{n}\left|\int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d}(\cos n x)\right|=\frac{1}{n}\left|\left(\left.f(x) \cos n x\right|_{0} ^{2 \pi}-\int_{0}^{2 \pi} \cos n x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)\right| \\
& \leqslant \frac{1}{n}|f(2 \pi)-f(0)|+\frac{1}{n} \int_{0}^{2 \pi} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{n}(f(2 \pi)-f(0))+\frac{1}{n}(f(2 \pi)-f(0)) \\
& =\frac{2}{n}(f(2 \pi)-f(0))
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入辅助函数并应用积分第二中值定理
令 $g(x)=f(x)-f(2\pi)$。由于 $f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上单调递减，则 $g(x)$ 非负且递减。由积分第二中值定理，存在 $\xi_n \in [0,2\pi]$ 使得
$$\int_0^{2\pi} g(x)\sin nx\,dx = g(0)\int_0^{\xi_n}\sin nx\,dx.$$
公式：积分第二中值定理：若 $g$ 单调，则 $\int_a^b g(x)h(x)\,dx = g(a)\int_a^{\xi} h(x)\,dx + g(b)\int_{\xi}^b h(x)\,dx$
提示：注意 $g(2\pi)=0$，因此第二项消失。
步骤 2/6
目标：计算积分并得到非负性
计算 $\int_0^{\xi_n}\sin nx\,dx = \frac{1-\cos n\xi_n}{n} \ge 0$。由于 $g(0) \ge 0$，故
$$\int_0^{2\pi} f(x)\sin nx\,dx = g(0)\frac{1-\cos n\xi_n}{n} \ge 0.$$
公式：$\int \sin nx\,dx = -\frac{\cos nx}{n}$
提示：注意 $\cos n\xi_n \le 1$，所以 $1-\cos n\xi_n \ge 0$。
步骤 3/6
目标：利用分部积分转化原积分
对于第二部分，使用分部积分法：
$$\int_0^{2\pi} f(x)\sin nx\,dx = -\frac{1}{n}\int_0^{2\pi} f(x)\,d(\cos nx) = -\frac{1}{n}\left[ f(x)\cos nx \Big|_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} \cos nx\, f'(x)\,dx \right].$$
公式：分部积分：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意 $d(\cos nx) = -n\sin nx\,dx$，因此 $\sin nx\,dx = -\frac{1}{n}d(\cos nx)$。
步骤 4/6
目标：估计边界项
计算边界项：$f(x)\cos nx \Big|_0^{2\pi} = f(2\pi)\cos(2n\pi) - f(0)\cos 0 = f(2\pi) - f(0)$。因此
$$\left| \int_0^{2\pi} f(x)\sin nx\,dx \right| = \frac{1}{n}\left| f(2\pi)-f(0) - \int_0^{2\pi} \cos nx\, f'(x)\,dx \right|.$$
提示：注意 $\cos(2n\pi)=1$。
步骤 5/6
目标：利用三角不等式和 $f'$ 非负性放缩
由三角不等式：
$$\left| \int_0^{2\pi} f(x)\sin nx\,dx \right| \le \frac{1}{n}\left( |f(2\pi)-f(0)| + \left|\int_0^{2\pi} \cos nx\, f'(x)\,dx\right| \right).$$
由于 $f'(x) \ge 0$ 且 $|\cos nx| \le 1$，有
$$\left|\int_0^{2\pi} \cos nx\, f'(x)\,dx\right| \le \int_0^{2\pi} f'(x)\,dx = f(2\pi)-f(0).$$
公式：三角不等式：$|a-b| \le |a|+|b|$；$|\int g| \le \int |g|$
提示：注意 $f'(x) \ge 0$ 保证 $\int f' = f(2\pi)-f(0)$。
步骤 6/6
目标：合并得到最终不等式
代入得
$$\left| \int_0^{2\pi} f(x)\sin nx\,dx \right| \le \frac{1}{n}\left( (f(2\pi)-f(0)) + (f(2\pi)-f(0)) \right) = \frac{2}{n}(f(2\pi)-f(0)).$$
提示：注意 $f(2\pi)-f(0) \ge 0$，因为 $f' \ge 0$。
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