中册 4.4 积分估值与积分不等式 第25题
📝 题目
25．设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上具有连续的导数，证明：
（1） $\displaystyle \max _{a
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必连续．从而存在 $x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\max _{a
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明（1）：利用积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式
由于 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $\max_{a
公式：$f(x_0) = \int_\xi^{x_0} f'(t) dt + f(\xi)$
提示：注意积分中值定理给出的是存在一点使得函数值等于平均值，但这里需要的是绝对值，因此要取绝对值。
步骤 2/3
目标：证明（2）：利用积分中值定理和绝对值不等式
由积分中值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$，从而 $|f(\xi)| = \left|\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\right|$。对任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) - f(\xi) = \int_\xi^x f'(t) dt$，因此 $|f(x)| \leq |f(\xi)| + \left|\int_\xi^x f'(t) dt\right| \leq |f(\xi)| + \int_a^b |f'(t)| dt = \frac{1}{b-a} \int_a^b |f(x)| dx + \int_a^b |f'(x)| dx$。注意最后一步用到了 $|f(\xi)| \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b |f(x)| dx$（因为 $|f(\xi)|$ 是平均值，但平均值不一定小于等于绝对值的平均值？实际上，由 $|f(\xi)| = \left|\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\right| \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b |f(x)| dx$，所以成立）。
公式：$|f(x)| \leq |f(\xi)| + \int_a^b |f'(t)| dt$
提示：注意 $|f(\xi)| \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b |f(x)| dx$ 是由绝对值不等式得到的，而不是直接由积分中值定理得到。
步骤 3/3
目标：证明（3）：直接应用（2）的结论
在（2）中取 $x = \frac{a+b}{2}$，即得 $\left| f\left(\frac{a+b}{2}\right) \right| \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b |f(x)| dx + \int_a^b |f'(x)| dx$。
提示：注意（2）的结论对任意 $x \in [a,b]$ 成立，因此直接代入中点即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。