中册 4.4 积分估值与积分不等式 第26题
📝 题目
26．设函数 $f(x)$ 在 $[0, a](a>0)$ 上连续可微．证明：$\displaystyle |f(0)| \leqslant \frac{1}{a} \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$ ．（四川师大 2013 ，上海大学 2003 ，华中师大 2000 ，沈阳工大 2007 ，山东师大 2008 ，郑州大学；东南大学 2001（ $a=$ 1），东北大学 2007／2003）
说明：这是 25 题的特殊情况。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由积分中值定理，$\exists \xi \in[0, a]$ 使得 $\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=a f(\xi)$ ．又因为 $f(\xi)-f(0)=\int_{0}^{\xi} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ，所以
$$
|f(0)|=\left|f(\xi)-\int_{0}^{\xi} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant|f(\xi)|+\int_{0}^{\xi}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$
$$
\leqslant\left|\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{a} \int_{0}^{a}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{a}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $\xi \in [0, a]$ 使得 $\int_0^a f(x) \, dx = a f(\xi)$。
公式：$\int_0^a f(x) \, dx = a f(\xi)$
提示：注意 $\xi$ 的存在性依赖于 $f$ 的连续性，这里 $f$ 连续可微，故连续。
步骤 2/8
目标：用牛顿-莱布尼茨公式表示 $f(\xi)-f(0)$
由于 $f$ 连续可微，由牛顿-莱布尼茨公式，$f(\xi)-f(0) = \int_0^\xi f'(x) \, dx$。
公式：$f(\xi)-f(0) = \int_0^\xi f'(x) \, dx$
提示：注意积分上限是 $\xi$，不是 $a$。
步骤 3/8
目标：将 $f(0)$ 表示为 $f(\xi)$ 与积分之差
由上式得 $f(0) = f(\xi) - \int_0^\xi f'(x) \, dx$。
提示：移项时注意符号。
步骤 4/8
目标：应用绝对值不等式放缩
两边取绝对值，由三角不等式得 $|f(0)| \leq |f(\xi)| + \int_0^\xi |f'(x)| \, dx$。
公式：$|a-b| \leq |a|+|b|$
提示：注意积分绝对值小于等于绝对值的积分。
步骤 5/8
目标：用积分中值定理替换 $|f(\xi)|$
由第一步，$|f(\xi)| = \left| \frac{1}{a} \int_0^a f(x) \, dx \right|$。
提示：注意 $a>0$，所以分母不为零。
步骤 6/8
目标：放大积分区间
由于 $\xi \in [0,a]$，有 $\int_0^\xi |f'(x)| \, dx \leq \int_0^a |f'(x)| \, dx$。
提示：被积函数非负，积分上限越大积分值越大。
步骤 7/8
目标：再次应用绝对值不等式
由 $\left| \frac{1}{a} \int_0^a f(x) \, dx \right| \leq \frac{1}{a} \int_0^a |f(x)| \, dx$。
公式：$\left|\int f\right| \leq \int |f|$
提示：注意常数因子 $1/a$ 为正，可直接提出。
步骤 8/8
目标：合并得到最终不等式
将以上放缩代入得 $|f(0)| \leq \frac{1}{a} \int_0^a |f(x)| \, dx + \int_0^a |f'(x)| \, dx$，证毕。
提示：注意不等式方向一致。
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