中册 4.4 积分估值与积分不等式 第30题
📝 题目
30．证明下列命题（Schwarz 不等式的应用）
（1）已知 $f(x) \geqslant 0$ ，在 $[a, b]$ 上连续， $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1, k$ 为任意实数．求证：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant 1 \text {. }
$$
（2）设 $f(x), g(x), h(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续， $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1, g^{2}(x)+h^{2}(x)=1$ ．证明：
$$
\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{0}^{1} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant 1 . \text { }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：记 $D=[a, b] \times[a, b]$ ，则由 $f(x) \geqslant 0$ 得
$$
\begin{aligned}
& \left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \\
& =\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b} f(y) \cos k y \mathrm{~d} y+\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x \cdot \int_{a}^{b} f(y) \sin k y \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{D} f(x) f(y)(\cos k x \cos k y+\sin k x \sin k y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D} f(x) f(y) \cos k(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& \leqslant \iint_{D} f(x) f(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} f(y) \mathrm{d} y=\left(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}=1 .
\end{aligned}
$$
方法 2：由 Schwarz 不等式
$$
\begin{aligned}
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2} & =\left(\int_{a}^{b} \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{f(x)} \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \\
& \leqslant \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} f(x) \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x=\int_{a}^{b} f(x) \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
同理
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f(x) \sin ^{2} k x \mathrm{~d} x
$$
两式相加得
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) \cos k x \mathrm{~d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f(x) \sin k x \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f(x) \sin ^{2} k x \mathrm{~d} x+\int_{a}^{b} f(x) \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
（2）由 Schwarz 不等式
$$
\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}=\left(\int_{a}^{b} f(x) \cdot f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} f^{2}(x) g^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{2}(x) g^{2}(x) \mathrm{d} x .
$$
同理
$$
\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2}=\left(\int_{a}^{b} f(x) \cdot f(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} f^{2}(x) h^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{2}(x) h^{2}(x) \mathrm{d} x .
$$
两式相加得
$$
\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) h(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) g^{2}(x) \mathrm{d} x+\int_{a}^{b} f^{2}(x) h^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将平方和转化为二重积分（方法1）
记 $D=[a,b]\times[a,b]$，则
\[
\begin{aligned}
&\left(\int_a^b f(x)\cos kx\,dx\right)^2+\left(\int_a^b f(x)\sin kx\,dx\right)^2\\
&=\int_a^b f(x)\cos kx\,dx\cdot\int_a^b f(y)\cos ky\,dy+\int_a^b f(x)\sin kx\,dx\cdot\int_a^b f(y)\sin ky\,dy\\
&=\iint_D f(x)f(y)(\cos kx\cos ky+\sin kx\sin ky)\,dx\,dy\\
&=\iint_D f(x)f(y)\cos k(x-y)\,dx\,dy.
\end{aligned}
\]
公式：$\cos kx\cos ky+\sin kx\sin ky=\cos k(x-y)$
提示：注意将乘积转化为二重积分时，积分变量要区分开。
步骤 2/7
目标：利用余弦函数的有界性放缩
由于 $\cos k(x-y)\leq 1$，且 $f(x)\geq 0$，有
\[
\iint_D f(x)f(y)\cos k(x-y)\,dx\,dy\leq \iint_D f(x)f(y)\,dx\,dy.
\]
公式：$\cos\theta\leq 1$
提示：注意 $f(x)\geq 0$ 保证被积函数非负，从而放缩成立。
步骤 3/7
目标：计算二重积分并利用已知条件
\[
\iint_D f(x)f(y)\,dx\,dy = \int_a^b f(x)\,dx \cdot \int_a^b f(y)\,dy = \left(\int_a^b f(x)\,dx\right)^2 = 1.
\]
因此原式 $\leq 1$，得证。
公式：$\int_a^b f(x)\,dx=1$
提示：二重积分可分离变量，注意积分限相同。
步骤 4/7
目标：应用Schwarz不等式（方法2）
由Schwarz不等式：
\[
\left(\int_a^b f(x)\cos kx\,dx\right)^2 = \left(\int_a^b \sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{f(x)}\cos kx\,dx\right)^2 \leq \int_a^b f(x)\,dx \cdot \int_a^b f(x)\cos^2 kx\,dx = \int_a^b f(x)\cos^2 kx\,dx.
\]
同理，
\[
\left(\int_a^b f(x)\sin kx\,dx\right)^2 \leq \int_a^b f(x)\sin^2 kx\,dx.
\]
公式：Schwarz不等式：$(\int u v)^2 \leq \int u^2 \int v^2$
提示：注意将 $f(x)$ 拆分为 $\sqrt{f(x)}\cdot\sqrt{f(x)}$，并令 $u=\sqrt{f(x)}$，$v=\sqrt{f(x)}\cos kx$。
步骤 5/7
目标：将两个不等式相加并利用三角恒等式
两式相加得：
\[
\left(\int_a^b f(x)\cos kx\,dx\right)^2+\left(\int_a^b f(x)\sin kx\,dx\right)^2 \leq \int_a^b f(x)(\cos^2 kx+\sin^2 kx)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx = 1.
\]
公式：$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
提示：注意积分线性性质，将两个积分合并。
步骤 6/7
目标：证明第（2）问：应用Schwarz不等式
由Schwarz不等式：
\[
\left(\int_0^1 f^2(x)g(x)\,dx\right)^2 = \left(\int_0^1 f(x)\cdot f(x)g(x)\,dx\right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x)\,dx \cdot \int_0^1 f^2(x)g^2(x)\,dx = \int_0^1 f^2(x)g^2(x)\,dx.
\]
同理，
\[
\left(\int_0^1 f^2(x)h(x)\,dx\right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x)h^2(x)\,dx.
\]
公式：Schwarz不等式
提示：注意 $f^2(x)$ 非负，可视为 $u=f(x)$，$v=f(x)g(x)$。
步骤 7/7
目标：相加并利用已知条件
两式相加得：
\[
\left(\int_0^1 f^2(x)g(x)\,dx\right)^2+\left(\int_0^1 f^2(x)h(x)\,dx\right)^2 \leq \int_0^1 f^2(x)(g^2(x)+h^2(x))\,dx = \int_0^1 f^2(x)\,dx = 1.
\]
公式：$g^2(x)+h^2(x)=1$ 和 $\int_0^1 f^2(x)\,dx=1$
提示：注意积分区间为 $[0,1]$，条件中 $\int_a^b f^2(x)\,dx=1$ 应理解为 $\int_0^1 f^2(x)\,dx=1$。
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