中册 4.4 积分估值与积分不等式 第31题
📝 题目
31．设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \frac{\pi}{2 t} \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x,(t>0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 Schwarz 不等式
$$
\begin{aligned}
\left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2} & \leqslant\left(\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{t^{2}+x^{2}} \sqrt{t^{2}+x^{2}}} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \int_{0}^{1} \frac{1}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x \\
& =\left.\frac{1}{t} \arctan \frac{x}{t}\right|_{0} ^{1} \cdot \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi}{2 t} \int_{0}^{1} \frac{f^{2}(x)}{t^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别不等式类型并准备应用Schwarz不等式
观察到要证明的不等式左边是平方形式，右边是积分乘积形式，联想到Schwarz不等式。将被积函数拆分为两个因子的乘积：$\frac{f(x)}{t^2+x^2} = \frac{f(x)}{\sqrt{t^2+x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t^2+x^2}}$。
提示：注意拆分要使得其中一个因子的平方积分容易计算。
步骤 2/5
目标：应用Schwarz不等式
由Schwarz不等式：$\left(\int_0^1 u(x)v(x)\,dx\right)^2 \le \int_0^1 u^2(x)\,dx \int_0^1 v^2(x)\,dx$。令 $u(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{t^2+x^2}}$，$v(x)=\frac{1}{\sqrt{t^2+x^2}}$，则得到：
$$\left(\int_0^1 \frac{f(x)}{t^2+x^2}\,dx\right)^2 \le \int_0^1 \frac{f^2(x)}{t^2+x^2}\,dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{t^2+x^2}\,dx.$$
公式：Schwarz不等式：$(\int u v)^2 \le \int u^2 \int v^2$
提示：注意Schwarz不等式要求积分区间有限且函数平方可积，这里$f$连续，$\frac{1}{t^2+x^2}$有界，条件满足。
步骤 3/5
目标：计算第二个积分
计算 $\int_0^1 \frac{1}{t^2+x^2}\,dx$。这是一个标准积分：
$$\int_0^1 \frac{1}{t^2+x^2}\,dx = \left.\frac{1}{t} \arctan\frac{x}{t}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{t} \arctan\frac{1}{t}.$$
公式：$\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
提示：注意积分变量是$x$，$t$视为常数。
步骤 4/5
目标：放缩反正切函数
由于 $t>0$，$\arctan\frac{1}{t} < \frac{\pi}{2}$，因此
$$\frac{1}{t} \arctan\frac{1}{t} \le \frac{1}{t} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2t}.$$
公式：$\arctan x < \frac{\pi}{2}$ 对所有实数$x$成立
提示：注意等号不能取到，但不等式是严格的，不影响最终结论。
步骤 5/5
目标：合并得到最终不等式
将放缩结果代入Schwarz不等式得到：
$$\left(\int_0^1 \frac{f(x)}{t^2+x^2}\,dx\right)^2 \le \frac{\pi}{2t} \int_0^1 \frac{f^2(x)}{t^2+x^2}\,dx.$$
这正是要证明的不等式。
提示：注意最终不等式右边系数$\frac{\pi}{2t}$，与$t$成反比。
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