中册 4.4 积分估值与积分不等式 第32题
📝 题目
32．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，$f(a)=f(b)=0, f(x)$ 不恒为正．求证： $\int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上具有连续的导数，$f(a)=f(b)=0, \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 。证明：（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ；
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x>\frac{1}{4}$ ；（3） $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 有连续的导数，$f(0)=f(1)=0, \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{9}{4}$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} x \mathrm{~d}\left(f^{2}(x)\right)=\left.\frac{1}{2}\left(x f^{2}(x)\right)\right|_{a} ^{b}-\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x<0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} x \mathrm{~d}\left(f^{2}(x)\right)=\left.\frac{1}{2}\left(x f^{2}(x)\right)\right|_{a} ^{b}-\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$ ．
由 Schwarz 不等式和分部积分得
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} f^{\prime 2}(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^{b} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x & \geqslant\left(\int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)^{2}=\left(\frac{1}{2} \int_{a}^{b} x \mathrm{~d}\left(f^{2}(x)\right)\right)^{2} \\
& =\frac{1}{4}\left(\left.\left(x f^{2}(x)\right)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x\right)^{2}=\frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
又由于 $\left(\int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b}\left(x f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}\left(x f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ，
且 $\displaystyle \quad \int_{a}^{b} x f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} x \mathrm{~d}(f(x))^{2}=\left.\frac{1}{2} x f^{2}(x)\right|_{a} ^{b}-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}(f(x))^{2}=-\frac{1}{2}$ ．
所以 $\displaystyle \int_{a}^{b} x^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x>\frac{1}{4}$ ．
（3）由 $\int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x=1$ 及 Schwarz 不等式得
$$
\int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}(x f(x))^{2} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{1}\left(x^{2} f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant\left(\int_{0}^{1} x^{3} f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right)^{2} .
$$
又
$$
\int_{0}^{1} x^{3} f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d}\left(f^{2}(x)\right)=\frac{1}{2}\left[\left.\left(x^{3} f^{2}(x)\right)\right|_{0} ^{1}-3 \int_{0}^{1} x^{2} f^{2}(x) \mathrm{d} x\right]=-\frac{3}{2},
$$
所以 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x \geqslant\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用分部积分化简积分
对于积分 $\int_a^b x f(x) f'(x) \, dx$，注意到 $f(x)f'(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} (f^2(x))$，因此原积分可写为 $\frac{1}{2} \int_a^b x \, d(f^2(x))$。应用分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，令 $u = x$，$dv = d(f^2(x))$，则 $du = dx$，$v = f^2(x)$。于是 $\frac{1}{2} \int_a^b x \, d(f^2(x)) = \frac{1}{2} \left[ x f^2(x) \Big|_a^b - \int_a^b f^2(x) \, dx \right]$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意分部积分时，边界项 $x f^2(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处由于 $f(a)=f(b)=0$ 而为零。
步骤 2/7
目标：利用边界条件简化结果
由条件 $f(a)=f(b)=0$，得 $x f^2(x) \big|_a^b = b f^2(b) - a f^2(a) = 0 - 0 = 0$。因此 $\frac{1}{2} \int_a^b x \, d(f^2(x)) = -\frac{1}{2} \int_a^b f^2(x) \, dx$。
提示：注意 $f(a)=f(b)=0$ 是题目给出的关键条件，务必代入。
步骤 3/7
目标：证明不等式（1）
由于 $f(x)$ 不恒为正，且 $f(a)=f(b)=0$，则 $f^2(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负且不恒为零，因此 $\int_a^b f^2(x) \, dx > 0$。于是 $\int_a^b x f(x) f'(x) \, dx = -\frac{1}{2} \int_a^b f^2(x) \, dx < 0$。
提示：注意 $f(x)$ 不恒为正意味着 $f^2(x)$ 不恒为零，从而积分严格大于0。
步骤 4/7
目标：证明（2）中的等式（1）
与（1）类似，利用分部积分得 $\int_a^b x f(x) f'(x) \, dx = -\frac{1}{2} \int_a^b f^2(x) \, dx$。由条件 $\int_a^b f^2(x) \, dx = 1$，故该积分等于 $-\frac{1}{2}$。
提示：注意条件 $\int_a^b f^2(x) \, dx = 1$ 直接代入。
步骤 5/7
目标：证明（2）中的不等式（2）
应用Schwarz不等式：$\left( \int_a^b g(x) h(x) \, dx \right)^2 \le \int_a^b g^2(x) \, dx \cdot \int_a^b h^2(x) \, dx$。取 $g(x) = f'(x)$，$h(x) = x f(x)$，则 $\left( \int_a^b x f(x) f'(x) \, dx \right)^2 \le \int_a^b (f'(x))^2 \, dx \cdot \int_a^b x^2 f^2(x) \, dx$。由（1）知 $\int_a^b x f(x) f'(x) \, dx = -\frac{1}{2}$，平方得 $\frac{1}{4}$，因此 $\int_a^b (f'(x))^2 \, dx \cdot \int_a^b x^2 f^2(x) \, dx \ge \frac{1}{4}$。等号成立当且仅当 $f'(x)$ 与 $x f(x)$ 线性相关，但由边界条件可证等号不成立，故严格大于。
公式：Schwarz不等式：$\left( \int g h \right)^2 \le \int g^2 \int h^2$
提示：注意Schwarz不等式取等条件为 $g$ 与 $h$ 成比例，但此处由于边界条件，比例常数会导致矛盾，因此不等式严格。
步骤 6/7
目标：证明（2）中的不等式（3）
再次应用Schwarz不等式：$\left( \int_a^b x f(x) f'(x) \, dx \right)^2 \le \int_a^b (x f'(x))^2 \, dx \cdot \int_a^b f^2(x) \, dx$。由条件 $\int_a^b f^2(x) \, dx = 1$ 和（1）的结果，得 $\frac{1}{4} \le \int_a^b x^2 (f'(x))^2 \, dx$。同样，等号不成立，故严格大于 $\frac{1}{4}$。
公式：Schwarz不等式
提示：注意此处取 $g(x)=x f'(x)$，$h(x)=f(x)$。
步骤 7/7
目标：证明（3）中的不等式
应用Schwarz不等式：$\left( \int_0^1 x^3 f(x) f'(x) \, dx \right)^2 \le \int_0^1 x^4 (f'(x))^2 \, dx \cdot \int_0^1 x^2 f^2(x) \, dx$。由条件 $\int_0^1 x^2 f^2(x) \, dx = 1$，只需计算 $\int_0^1 x^3 f(x) f'(x) \, dx$。利用分部积分：$\int_0^1 x^3 f(x) f'(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^3 \, d(f^2(x)) = \frac{1}{2} \left[ x^3 f^2(x) \Big|_0^1 - 3 \int_0^1 x^2 f^2(x) \, dx \right]$。由 $f(0)=f(1)=0$，边界项为零，故 $= -\frac{3}{2} \int_0^1 x^2 f^2(x) \, dx = -\frac{3}{2}$。代入Schwarz不等式得 $\left( -\frac{3}{2} \right)^2 \le \int_0^1 x^4 (f'(x))^2 \, dx \cdot 1$，即 $\int_0^1 x^4 (f'(x))^2 \, dx \ge \frac{9}{4}$。
公式：分部积分和Schwarz不等式
提示：注意分部积分时 $x^3$ 的导数为 $3x^2$，不要漏掉系数。
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