中册 4.4 积分估值与积分不等式 第33题
📝 题目
33．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，并且导函数连续，证明：
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}, \forall x \in[a, b] \text {. }
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，$f(a)=0$ ．求证：$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，$f(a)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，$f(a)=0$ 。求证： $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ 。中科院 2006，湘潭大学 2004 ，地质大学 2006 ，北航 $2007 ;[a, b]=[0,1]$ ：上海大学 2002 ，南京财大 2012）
（5）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，$f(a)=0$ ．求证：$\exists M>0$ 使 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（6）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 一阶连续可导，$f(a)=0$ ．证明：
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x \text {. }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ 得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right| \leqslant|f(a)|+\int_{a}^{x_{0}}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ 。由 Schwarz 不等式
$$
|f(x)| \leqslant|f(a)|+\left(\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t \int_{a}^{x} 1^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}=|f(a)|+\sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t}
$$
（2）$\forall x_{0} \in(a, b), f\left(x_{0}\right)=f(a)+\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ ，从而 $\left|f\left(x_{0}\right)\right| \leqslant \int_{a}^{x_{0}}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．由 Schwarz不等式得
$$
\left|f\left(x_{0}\right)\right|^{2}=\left(\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right)^{2} \leqslant\left(\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t)^{2} \mathrm{~d} t\right)\left(\int_{a}^{x_{0}} 1^{2} \mathrm{~d} t\right)=\left(x_{0}-a\right) \int_{a}^{x_{0}}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t
$$
所以 $\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \geqslant \frac{f^{2}\left(x_{0}\right)}{x_{0}-a}$ ．
（3）设 $\max _{x \in[a, b]}|f(x)|=\left|f\left(x_{0}\right)\right|$ ，则 $f\left(x_{0}\right)=f(a)+\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ 。由 Schwarz 不等式
$$
\left|f\left(x_{0}\right)\right|^{2}=\left(\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right)^{2} \leqslant\left(\int_{a}^{x_{0}} f^{\prime}(t)^{2} \mathrm{~d} t\right)\left(\int_{a}^{x_{0}} 1^{2} \mathrm{~d} t\right)=\left(x_{0}-a\right) \int_{a}^{x_{0}}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t \leqslant(b-a) \int_{a}^{x_{0}}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t .
$$
开方得 $\displaystyle \max _{x \in[a, b]}|f(x)| \leqslant \sqrt{b-a}\left(\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
（4）由 $f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ 得 $|f(x)| \leqslant \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ 。由 Schwarz 不等式
$$
|f(x)| \leqslant \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant(x-a)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}
$$
于是
$$
|f(x)|^{2} \leqslant(x-a) \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t \leqslant(x-a) \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t
$$
积分得
$$
\int_{a}^{b}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}(x-a) \mathrm{d} x=\frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x
$$
（5）由 $f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ 得 $|f(x)| \leqslant \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ 。由 Schwarz 不等式
$$
|f(x)| \leqslant \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \leqslant(x-a)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right|^{2} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{2}}
$$
于是
$$
f^{2}(x)=\left(\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{x} \mathrm{ld} t \int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t \leqslant(x-a) \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x
$$
故
$$
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t \int_{a}^{b}(x-a) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x
$$
取 $\displaystyle M \geqslant \frac{(b-a)^{2}}{2}$ 即可．
（6）由 Schwarz 不等式得 $f^{2}(x)=\left(\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right)^{2} \leqslant(x-a) \cdot \int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t$ ．积分得
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x & \leqslant \int_{a}^{b}\left((x-a) \int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(\int_{a}^{x}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d}(x-a)^{2} \\
& \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}(x-a)^{2} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用牛顿-莱布尼茨公式表示f(x)
由 $f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} f'(t) \, dt$，得 $|f(x)| \leq |f(a)| + \int_{a}^{x} |f'(t)| \, dt$。
公式：$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x} f'(t) \, dt$
提示：注意绝对值不等式：$|\int f| \leq \int |f|$。
步骤 2/3
目标：应用Schwarz不等式
对 $\int_{a}^{x} |f'(t)| \cdot 1 \, dt$ 使用Schwarz不等式：$\left(\int_{a}^{x} |f'(t)| \cdot 1 \, dt\right)^2 \leq \int_{a}^{x} (f'(t))^2 \, dt \cdot \int_{a}^{x} 1^2 \, dt$，即 $\int_{a}^{x} |f'(t)| \, dt \leq \sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x} (f'(t))^2 \, dt}$。
公式：$\left(\int u v \right)^2 \leq \int u^2 \int v^2$
提示：Schwarz不等式要求函数平方可积，这里$f'$连续，满足条件。
步骤 3/3
目标：得到最终不等式
代入第一步得 $|f(x)| \leq |f(a)| + \sqrt{x-a} \sqrt{\int_{a}^{x} (f'(t))^2 \, dt}$，对任意 $x \in [a,b]$ 成立。
提示：注意开方后不等号方向不变。
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