中册 4.4 积分估值与积分不等式 第39题
📝 题目
39．证明下列命题．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 。证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．（中科 大 2008）
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\alpha$ 为任意正数．
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y \in[0,1]$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由泰勒公式知
$$
f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} \text {, 其中 } \xi \text { 在 } x \text { 与 } \frac{1}{2} \text { 之间. }
$$
从而有
$$
f(x) \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)
$$
两边从 0 到 1 积分得
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1}\left[f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\right] \mathrm{d} x=f\left(\frac{1}{2}\right)
$$
（2）$f(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{\alpha+1}$ 的 Taylor 公式为
$$
f(x)=f\left(\frac{1}{\alpha+1}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{\alpha+1}\right)\left(x-\frac{1}{\alpha+1}\right)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)\left(x-\frac{1}{\alpha+1}\right)^{2} \text {, 其中 } 0<\xi<1 \text {. }
$$
由 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 得
$$
f(x) \geqslant f\left(\frac{1}{\alpha+1}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{\alpha+1}\right)\left(x-\frac{1}{\alpha+1}\right), x \in[0,1],
$$
再用 $x^{\alpha}$ 替换 $x$ 得
$$
f\left(x^{\alpha}\right) \geqslant f\left(\frac{1}{\alpha+1}\right)+f^{\prime}\left(\frac{1}{\alpha+1}\right)\left(x^{\alpha}-\frac{1}{\alpha+1}\right)
$$
两边从 0 到 1 积分，由于 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(x^{a}-\frac{1}{\alpha+1}\right) \mathrm{d} x=0$ 得 $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left(x^{\alpha}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$ ．
（3）由已知有
$$
f\left(\frac{1}{2}\right) \leqslant \frac{f(1-x)+f(x)}{2}
$$
积分得
$$
f\left(\frac{1}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)
$$
令 $t=1-x$ ，则
$$
\int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{0} f(t)(-\mathrm{d} t)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t
$$
于是 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用泰勒公式展开f(x)并利用二阶导数非负得到不等式
由泰勒公式，在 $x=\frac{1}{2}$ 处展开：
$$f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}f''(\xi)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2,$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间。由于 $f''(x)\geq 0$，故 $f''(\xi)\geq 0$，从而
$$f(x)\geq f\left(\frac{1}{2}\right)+f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right).$$
公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-a)^2
提示：注意泰勒公式的余项形式，这里用的是拉格朗日余项。
步骤 2/6
目标：对不等式两边积分并计算积分值
对上述不等式两边在 $[0,1]$ 上积分：
$$\int_0^1 f(x)dx \geq \int_0^1 \left[f\left(\frac{1}{2}\right)+f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]dx.$$
计算右边积分：
$$\int_0^1 f\left(\frac{1}{2}\right)dx = f\left(\frac{1}{2}\right),\quad \int_0^1 f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)dx = f'\left(\frac{1}{2}\right)\int_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)dx = 0.$$
因此 $\int_0^1 f(x)dx \geq f\left(\frac{1}{2}\right)$，得证。
公式：\int_0^1 (x-1/2)dx = 0
提示：注意 $\int_0^1 (x-1/2)dx = 0$，这是关键。
步骤 3/6
目标：利用泰勒公式展开f(x)并代入x^α
对 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{1+\alpha}$ 处泰勒展开：
$$f(x)=f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)+f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(x-\frac{1}{1+\alpha}\right)+\frac{1}{2}f''(\xi)\left(x-\frac{1}{1+\alpha}\right)^2,$$
其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{1}{1+\alpha}$ 之间。由 $f''\geq 0$ 得
$$f(x)\geq f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)+f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(x-\frac{1}{1+\alpha}\right).$$
令 $x$ 替换为 $x^\alpha$（注意 $x^\alpha \in [0,1]$），得
$$f(x^\alpha)\geq f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)+f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(x^\alpha-\frac{1}{1+\alpha}\right).$$
公式：f(x^\alpha)\geq f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)+f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(x^\alpha-\frac{1}{1+\alpha}\right)
提示：注意 $x^\alpha$ 在 $[0,1]$ 上取值，确保泰勒展开适用。
步骤 4/6
目标：对不等式两边积分并利用积分性质
对上述不等式两边在 $[0,1]$ 上积分：
$$\int_0^1 f(x^\alpha)dx \geq \int_0^1 \left[f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)+f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(x^\alpha-\frac{1}{1+\alpha}\right)\right]dx.$$
计算右边：
$$\int_0^1 f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)dx = f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right),$$
$$\int_0^1 f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(x^\alpha-\frac{1}{1+\alpha}\right)dx = f'\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)\left(\int_0^1 x^\alpha dx - \frac{1}{1+\alpha}\right).$$
由于 $\int_0^1 x^\alpha dx = \frac{1}{1+\alpha}$，故该项为0。因此 $\int_0^1 f(x^\alpha)dx \geq f\left(\frac{1}{1+\alpha}\right)$，得证。
公式：\int_0^1 x^\alpha dx = \frac{1}{1+\alpha}
提示：注意 $\int_0^1 x^\alpha dx$ 的计算，当 $\alpha>0$ 时成立。
步骤 5/6
目标：利用凸函数性质得到对称点不等式
由 $f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$ 知 $f$ 是凸函数。取 $x$ 和 $1-x$，得
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{x+(1-x)}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(1-x)}{2}.$$
即 $2f\left(\frac{1}{2}\right) \leq f(x)+f(1-x)$。
公式：f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}
提示：注意凸函数的定义，这里直接代入 $x$ 和 $1-x$。
步骤 6/6
目标：对不等式两边积分并利用变量代换
对 $2f\left(\frac{1}{2}\right) \leq f(x)+f(1-x)$ 两边在 $[0,1]$ 上积分：
$$\int_0^1 2f\left(\frac{1}{2}\right)dx \leq \int_0^1 f(x)dx + \int_0^1 f(1-x)dx.$$
左边为 $2f\left(\frac{1}{2}\right)$。对右边第二项作变量代换 $t=1-x$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t$ 从 $1$ 到 $0$，故
$$\int_0^1 f(1-x)dx = \int_1^0 f(t)(-dt) = \int_0^1 f(t)dt = \int_0^1 f(x)dx.$$
因此 $2f\left(\frac{1}{2}\right) \leq 2\int_0^1 f(x)dx$，即 $\int_0^1 f(x)dx \geq f\left(\frac{1}{2}\right)$，得证。
公式：\int_0^1 f(1-x)dx = \int_0^1 f(x)dx
提示：变量代换时注意积分限的变化，不要忘记负号。
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