中册 4.4 积分估值与积分不等式 第40题
📝 题目
40．证明下列命题．
（1）若 $\varphi(x)$ 在 $[0, a]$ 连续，$f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ，则
$\displaystyle \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right)$ ．（山东师大 2011，西安理工 2011，天津大学 2007，地质大学 2003，厦门大学2010，东北师大 2000（区间为 $[a, b]$ ），郑州大学 2007（ $[0,1]$ ））
（2）设正值函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续．试证：
$\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x} \leqslant \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 或 $\ln \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x$ 。
（3）若正值函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，则 $\displaystyle a \mathrm{e}^{\frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x} \geqslant \int_{0}^{a} \mathrm{e}^{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（4）函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积， $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=1, g(x) \geqslant 0$ ，且 $\varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，证明：
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x . }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle c=\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t$ 。由 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 有 $f(x) \geqslant f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)$ 。把 $x=\varphi(t)$ 代人，并在 $[0, a]$ 上积分得
即
$$
\begin{aligned}
& \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant a f(c)+f^{\prime}(c) \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t-f^{\prime}(c) c \cdot a=a f(c) . \\
& \frac{1}{a} \int_{0}^{a} f(\varphi(t)) \mathrm{d} t \geqslant f\left(\frac{1}{a} \int_{0}^{a} \varphi(t) \mathrm{d} t\right) .
\end{aligned}
$$
（2）由条件知 $f(x), \ln f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积．将 $[0,1] n$ 等分，由定积分的定义得
$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}, \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \ln f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(\prod_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)^{\frac{1}{n}}
$$
由平均值不等式得
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \geqslant \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}=\mathrm{e}^{\frac{1}{n}\left(\ln f\left(\frac{1}{n}\right)+\ln f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots+\ln f\left(\frac{n}{n}\right)\right)} .
$$
让 $n \rightarrow+\infty$ 得
$$
\mathrm{e}^{\int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(\prod_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)^{\frac{1}{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\prod_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)^{\frac{1}{n}} \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x
$$
（3）与（2）类似．
（4）设 $c=\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x$ 。因为 $\varphi^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，故 $\varphi(x) \geqslant \varphi(c)+\varphi^{\prime}(c)(x-c)$ 。把 $x=f(t)$ 代人得
$$
\varphi(f(t)) \geqslant \varphi(c)+\varphi^{\prime}(c)(f(t)-c)
$$
于是
$$
g(t) \varphi(f(t)) \geqslant \varphi(c) g(t)+g(t) \varphi^{\prime}(c)(f(t)-c)=\varphi(c) g(t)+\varphi^{\prime}(c) g(t) f(t)-\varphi^{\prime}(c) c g(t)
$$
在 $[a, b]$ 上积分得
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} g(t) \varphi(f(t)) \mathrm{d} t & \geqslant \varphi(c) \int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t+\varphi^{\prime}(c) \int_{a}^{b} g(t) f(t) \mathrm{d} t-\varphi^{\prime}(c) c \int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t \\
& =\varphi(c)-\varphi^{\prime}(c) c+\varphi^{\prime}(c) \int_{a}^{b} g(t) f(t) \mathrm{d} t=\varphi(c)+\varphi^{\prime}(c)\left(\int_{a}^{b} g(t) f(t) \mathrm{d} t-c\right)=\varphi(c)
\end{aligned}
$$
即
$$
\varphi\left(\int_{a}^{b} g(x) f(x) \mathrm{d} x\right) \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \varphi(f(x)) \mathrm{d} x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：利用凸函数性质得到线性下界
设 $c = \frac{1}{a} \int_0^a \varphi(t) dt$。由于 $f''(x) \geq 0$，$f$ 是凸函数，因此 $f(x) \geq f(c) + f'(c)(x-c)$ 对所有 $x$ 成立。
公式：f(x) \geq f(c) + f'(c)(x-c)
提示：注意凸函数切线不等式成立的条件是二阶导非负。
步骤 2/9
目标：代入并积分
将 $x = \varphi(t)$ 代入不等式，并在 $[0,a]$ 上积分：
$$\int_0^a f(\varphi(t)) dt \geq \int_0^a [f(c) + f'(c)(\varphi(t)-c)] dt = a f(c) + f'(c) \int_0^a \varphi(t) dt - f'(c) c a.$$
提示：积分时注意常数项的处理。
步骤 3/9
目标：化简得到结果
由于 $\int_0^a \varphi(t) dt = a c$，代入得：
$$\int_0^a f(\varphi(t)) dt \geq a f(c) + f'(c) \cdot a c - f'(c) c a = a f(c).$$
两边除以 $a$ 即得：
$$\frac{1}{a} \int_0^a f(\varphi(t)) dt \geq f\left(\frac{1}{a} \int_0^a \varphi(t) dt\right).$$
提示：注意 $c$ 的定义，确保代入正确。
步骤 4/9
目标：将积分转化为黎曼和
将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 份，由定积分定义：
$$\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right), \quad \int_0^1 \ln f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f\left(\frac{i}{n}\right) = \lim_{n\to\infty} \ln \left(\prod_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right)^{1/n}.$$
提示：注意 $\ln$ 的连续性，极限可以交换。
步骤 5/9
目标：应用均值不等式
由算术-几何平均不等式：
$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f\left(\frac{i}{n}\right)\right).$$
公式：\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i \geq \left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^{1/n}
提示：注意 $f(x) > 0$ 保证均值不等式适用。
步骤 6/9
目标：取极限得到结论
令 $n \to \infty$，左边趋于 $\int_0^1 f(x) dx$，右边趋于 $\exp\left(\int_0^1 \ln f(x) dx\right)$，因此：
$$\int_0^1 f(x) dx \geq \exp\left(\int_0^1 \ln f(x) dx\right).$$
两边取对数即得另一形式。
提示：极限过程需保证收敛性，由连续性保证。
步骤 7/9
目标：利用凸函数性质得到线性下界
设 $c = \int_a^b g(x) f(x) dx$。由于 $\varphi''(x) \geq 0$，$\varphi$ 是凸函数，因此 $\varphi(x) \geq \varphi(c) + \varphi'(c)(x-c)$ 对所有 $x$ 成立。
公式：\varphi(x) \geq \varphi(c) + \varphi'(c)(x-c)
提示：注意 $c$ 是加权平均，不是简单平均。
步骤 8/9
目标：代入并乘以权重后积分
将 $x = f(t)$ 代入，两边乘以 $g(t) \geq 0$ 得：
$$g(t) \varphi(f(t)) \geq g(t) \varphi(c) + g(t) \varphi'(c)(f(t)-c).$$
在 $[a,b]$ 上积分：
$$\int_a^b g(t) \varphi(f(t)) dt \geq \varphi(c) \int_a^b g(t) dt + \varphi'(c) \int_a^b g(t) f(t) dt - \varphi'(c) c \int_a^b g(t) dt.$$
提示：注意 $g(t) \geq 0$ 保证不等式方向不变。
步骤 9/9
目标：利用条件化简
由 $\int_a^b g(t) dt = 1$ 和 $\int_a^b g(t) f(t) dt = c$，代入得：
$$\int_a^b g(t) \varphi(f(t)) dt \geq \varphi(c) + \varphi'(c) c - \varphi'(c) c = \varphi(c).$$
即 $\varphi\left(\int_a^b g(x) f(x) dx\right) \leq \int_a^b g(x) \varphi(f(x)) dx$。
提示：注意 $c$ 的定义，确保最后一步化简正确。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。