中册 4.4 积分估值与积分不等式 第41题

设 $F(a)=\int_0^a f(u)du + \int_0^b g(u)du - ab$，其中 $b$ 固定。求导得 $F'(a)=f(a)-b$。令 $F'(a)=0$ 得 $a=g(b)$，即 $b=f(a)$。当 $ag(b)$ 时 $F'(a)>0$，$F$ 递增。故 $F(a)\ge F(g(b))$。计算 $F(g(b))$：利用分部积分 $\int_0^b g(y)dy = bg(b)-\int_0^{g(b)} f(x)dx$，代入得 $F(g(b))=\int_0^{g(b)} f(x)dx + (bg(b)-\int_0^{g(b)} f(x)dx) - g(b)b =0$。因此 $F(a)\ge0$，即不等式成立，等号当且仅当 $a=g(b)$ 即 $b=f(a)$。

方法1：由(1)的结论，取 $b=f(a)$，则 $\int_0^a f(x)dx + \int_0^{f(a)} g(y)dy = a f(a)$。移项得 $\int_0^{f(a)} g(y)dy = a f(a) - \int_0^a f(x)dx$。而 $\int_0^{f(a)} (a-g(x))dx = a f(a) - \int_0^{f(a)} g(x)dx$，因此等式成立。方法2：设 $F(x)=x f(x)-\int_0^{f(x)} g(u)du - \int_0^x f(u)du$，则 $F(0)=0$。求导得 $F'(x)=f(x)+x f'(x)-g(f(x))f'(x)-f(x)=0$，故 $F(x)\equiv0$。取 $x=a$ 即得。

设 $F(x)=x f(x)-a f(a)-\int_{f(a)}^{f(x)} g(u)du - \int_a^x f(u)du$，其中 $g=f^{-1}$。则 $F(a)=0$。求导得 $F'(x)=f(x)+x f'(x)-g(f(x))f'(x)-f(x)=0$，故 $F(x)\equiv0$。取 $x=b$ 即得 $\int_a^b f(x)dx = b f(b)-a f(a)-\int_{f(a)}^{f(b)} g(x)dx$。

令 $f(x)=e^{x-1}$，则 $f$ 严格递增且连续，$f(0)=e^{-1}$，但题目中 $f(0)=0$ 不满足。实际上，考虑函数 $f(x)=e^{x-1}-e^{-1}$ 可满足 $f(0)=0$，但更简单的方法是直接应用(1)的结论。取 $f(x)=\ln x$ 的反函数？注意：原不等式可改写为 $\alpha \beta \le e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta$。令 $a=\alpha-1$，$b=\ln\beta$，则 $a\ge0$，$b\ge0$。考虑函数 $f(x)=e^x$，其反函数 $g(y)=\ln y$。但 $f(0)=1\neq0$，不满足条件。因此需调整：令 $f(x)=e^x-1$，则 $f(0)=0$，严格递增，反函数 $g(y)=\ln(y+1)$。由(1)得 $\int_0^a (e^x-1)dx + \int_0^b \ln(y+1)dy \ge ab$。计算积分：$\int_0^a (e^x-1)dx = e^a - a -1$，$\int_0^b \ln(y+1)dy = (b+1)\ln(b+1)-b$。代入得 $e^a - a -1 + (b+1)\ln(b+1)-b \ge ab$。令 $a=\alpha-1$，$b=\ln\beta$，则 $e^a = e^{\alpha-1}$，$b+1 = \ln\beta+1$，$ab = (\alpha-1)\ln\beta$。整理得 $e^{\alpha-1} - (\alpha-1) -1 + (\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1) - \ln\beta \ge (\alpha-1)\ln\beta$。即 $e^{\alpha-1} + (\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1) \ge \alpha\ln\beta + \alpha -1$。但目标不等式为 $\alpha\beta \le e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta$，形式不同。实际上，更简单的证法是利用 Young 不等式：$\alpha\beta \le \frac{\alpha^p}{p}+\frac{\beta^q}{q}$，取 $p=\alpha$，$q=\frac{\alpha}{\alpha-1}$ 等，但题目要求用(1)的结论。另一种思路：令 $f(x)=e^x$，但 $f(0)=1$，不满足条件。可考虑平移：令 $f(x)=e^x-1$，则 $f(0)=0$，反函数 $g(y)=\ln(y+1)$。由(1)得 $\int_0^{\alpha-1} (e^x-1)dx + \int_0^{\ln\beta} \ln(y+1)dy \ge (\alpha-1)\ln\beta$。计算得 $e^{\alpha-1}-\alpha + (\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1)-\ln\beta \ge (\alpha-1)\ln\beta$。整理得 $e^{\alpha-1} + (\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1) \ge \alpha\ln\beta + \alpha -1$。但目标不等式为 $\alpha\beta \le e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta$，即 $e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta - \alpha\beta \ge 0$。令 $h(\beta)=e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta - \alpha\beta$，对 $\beta$ 求导得 $h'(\beta)=\ln\beta+1-\alpha$，令 $h'(\beta)=0$ 得 $\beta=e^{\alpha-1}$，此时 $h(e^{\alpha-1})=e^{\alpha-1}+e^{\alpha-1}(\alpha-1)-\alpha e^{\alpha-1}=0$，且 $h''(\beta)=1/\beta>0$，故 $h(\beta)\ge0$，等号当 $\beta=e^{\alpha-1}$ 时成立。此证法更简洁，但未用到(1)。题目要求用(1)证明，故需调整函数。实际上，取 $f(x)=e^x-1$，$a=\alpha-1$，$b=\ln\beta$，则(1)给出 $\int_0^{\alpha-1}(e^x-1)dx + \int_0^{\ln\beta}\ln(y+1)dy \ge (\alpha-1)\ln\beta$。左边积分计算得 $e^{\alpha-1}-\alpha + (\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1)-\ln\beta$。右边为 $(\alpha-1)\ln\beta$。整理得 $e^{\alpha-1} + (\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1) \ge \alpha\ln\beta + \alpha -1$。但目标不等式为 $e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta \ge \alpha\beta$。注意到 $\beta\ln\beta = e^{\ln\beta}\ln\beta$，而 $(\ln\beta+1)\ln(\ln\beta+1)$ 与 $\beta\ln\beta$ 不同。因此直接应用(1)不能得到目标不等式。实际上，原题(4)可能是一个独立的不等式，可用其他方法证明。但根据题目要求，我们仍用(1)的思路。另一种构造：令 $f(x)=\ln(x+1)$，则 $f(0)=0$，反函数 $g(y)=e^y-1$。由(1)得 $\int_0^a \ln(x+1)dx + \int_0^b (e^y-1)dy \ge ab$。取 $a=\beta-1$，$b=\alpha-1$，则左边积分得 $(\beta\ln\beta - \beta +1) + (e^{\alpha-1}-\alpha) \ge (\beta-1)(\alpha-1)$。整理得 $\beta\ln\beta + e^{\alpha-1} \ge \alpha\beta - \alpha - \beta +1 + \alpha + \beta -1 = \alpha\beta$。即 $e^{\alpha-1}+\beta\ln\beta \ge \alpha\beta$，等号当 $b=f(a)$ 即 $\alpha-1 = \ln(\beta-1+1)=\ln\beta$，故 $\beta=e^{\alpha-1}$。此证法正确。