中册 4.4 积分估值与积分不等式 第42题

证明：$\varphi(x)$ 必满足 $|\varphi(x)| \leqslant M \exp \left\{K M \int_{x_{0}}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t\right\}, x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right)$ ．（中科院 2007） （4）设 $f(t), g(t), h(t)$ 为 $[0, \infty)$ 上连续非负函数，满足 $g(t) \leqslant f(t)+\int_{0}^{t} g(s) h(s) \mathrm{d} s, t \geqslant 0$ ， $f^{\prime}(t) \geqslant 0, \int_{0}^{\infty} h(t) \mathrm{d} t=A<\infty$ ．试证：$g(t) \leqslant \mathrm{e}^{A} f(t), t \geqslant 0$ ．（华南理工 2004） （5）设 $f(t), g(t), \varphi(t)$ 为 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $g(x)$ 为单调递增的，$f(t) \leqslant g(t)+\int_{0}^{t} f(s) \varphi(s) \mathrm{d} s$ ， $t \in[a, b]$ ．试证：$f(t) \leqslant g(t) \mathrm{e}^{\int_{0}^{\prime} \varphi(s) \mathrm{d} s}, \forall t \in[a, b]$ ．（浙江大学 2013） \section*{解题过程：} （1）因 $h(t)$ 是 $f(t)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，所以 $h^{\prime}(t)-h(t) \leqslant 0$ ．两边同乘 $\mathrm{e}^{-t}$ 得 $$ \mathrm{e}^{-t} h^{\prime}(t)-\mathrm{e}^{-t} h(t) \leqslant 0 \text {, 即 }\left(\mathrm{e}^{-t} h(t)\right)^{\prime} \leqslant 0 \text {. } $$ 从 $a$ 到 $t$ 积分得 $$ \mathrm{e}^{-t} h(t)-\mathrm{e}^{-a} h(a) \leqslant 0 $$ 所以 $h(t) \leqslant \mathrm{e}^{t-a} h(a)$ ，从而 $f(t) \leqslant h(a) \mathrm{e}^{t-a},(a \leqslant t \leqslant b)$ ． （2）记 $h(x)=\int_{x_{0}}^{x} y(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ ，则 $h^{\prime}(x)=y(x) \leqslant \delta+k h(x)$ ，即 $$ h^{\prime}(x)-k h(x) \leqslant \delta $$ 两边同乘 $\mathrm{e}^{-k x}$ 得 $$ \mathrm{e}^{-k x} h^{\prime}(x)-k \mathrm{e}^{-k x} h(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{-k x} \text {, 即 }\left(\mathrm{e}^{-k x} h(x)\right)^{\prime} \leqslant \mathrm{e}^{-k x} \delta \text {. } $$ 从 $x_{0}$ 到 $x$ 积分得 $$ \mathrm{e}^{-k x} h(x)-\mathrm{e}^{-k x_{0}} h\left(x_{0}\right) \leqslant \frac{1}{k} \delta\left(\mathrm{e}^{-k x_{0}}-\mathrm{e}^{-k x}\right) $$ 注意到 $h\left(x_{0}\right)=0$ ，有 $k h(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}-\delta$ ．从而 $y(x) \leqslant \delta \mathrm{e}^{k\left(x-x_{0}\right)}, x \in[a, b]$ ． （3）设 $$ u(x)=M\left(1+K \int_{x_{0}}^{x}|\varphi(t) f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right), $$ 从而有 $|\varphi(x)| \leqslant u(x)$ ．由 $u^{\prime}(x)=M K|\varphi(x) f(x)|$ 有 $u^{\prime}(x) \leqslant M K u(x)|f(x)|$ ．于是 $$ \left[u(x) \exp \left(-M K \int_{x_{0}}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t\right)\right]^{\prime} \leqslant 0, x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right) $$ 解之得 $$ u(x) \exp \left(-M K \int_{x_{0}}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t\right)-M \leqslant 0 . x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right) . $$ 所以 $$ u(x) \leqslant M \exp \left(M K \int_{x_{0}}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right) $$ 于是 $$ |\varphi(x)| \leqslant M \exp \left(K M \int_{x_{0}}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+h\right) $$ （4）由条件知，$f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，$h(t) \geqslant 0$ ．由 $g(t) \leqslant f(t)+\int_{0}^{t} g(s) h(s) \mathrm{d} s,(t>0)$ 得 $$ h(t) g(t) \leqslant h(t) f(t)+h(t) \int_{0}^{t} g(s) h(s) \mathrm{d} s $$ 令 $F(t)=\int_{0}^{t} g(s) h(s) \mathrm{d} s$ ，则 $$ g(t) \leqslant f(t)+F(t) \text {, 且 } F^{\prime}(t)=h(t) g(t) \leqslant h(t) f(t)+h(t) F(t) \text {. } $$ 由此得 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} h(s) \mathrm{d} s} F(t)\right) \leqslant \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} h(s) \mathrm{d} s} h(t) f(t) . $$ 从而 $$ F(t) \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} h(s) \mathrm{d} s} \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} h(z) \mathrm{d} z} h(s) f(s) \mathrm{d} s \leqslant f(t) \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} h(z) \mathrm{d} z} h(s) \mathrm{d} s=f(t)\left(1-\mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} h(z) \mathrm{d} z}\right) . $$ 于是 $$ F(t) \leqslant f(t)\left(\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s}^{\prime} h(z) \mathrm{d} z} h(s) \mathrm{d} s-1\right) $$ 故 $$ g(t) \leqslant f(t)+F(t) \leqslant f(t) \mathrm{e}^{\int_{0}^{h} h(s) \mathrm{d} s} \leqslant \mathrm{e}^{A} f(t) . $$ （5）令 $F(t)=\int_{0}^{1} f(s) \varphi(s) \mathrm{d} s$ ，则 由此得 $$ F^{\prime}(t)=f(t) \varphi(t) \leqslant \varphi(t) g(t)+\varphi(t) F(t), \quad F^{\prime}(t)-\varphi(t) F(t) \leqslant \varphi(t) g(t) . $$ 从而 $$ \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} \varphi(s) \mathrm{d} s} F(t) \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} \varphi(z) \mathrm{d} z} \varphi(s) g(s) \mathrm{d} s \leqslant g(t) \int_{0}^{1} \varphi(s) \mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} \varphi(z) \mathrm{d} z} \mathrm{~d} s=g(t)\left(1-\mathrm{e}^{-\int_{0}^{\prime} \varphi(z) \mathrm{d} z}\right) . $$ 于是 $F(t) \leqslant g(t)\left(\mathrm{e}^{\int_{0}^{t} \varphi(s) \mathrm{d} s}-1\right)$ ．故 $f(t) \leqslant g(t)+F(t) \leqslant g(t) \mathrm{e}^{\int_{0}^{t} \varphi(s) \mathrm{d} s}$ ．