中册 4.4 积分估值与积分不等式 第43题
📝 题目
43．设函数 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上可导，$f(x)>0$ ，且 $(x f(x))^{\prime} \leqslant-k f(x)$ ，其中 $k$ 为常数．证明 $f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$ ，其中 $A$ 为与 $x$ 无关的常数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由假设条件得 $x f^{\prime}(x)+f(x) \leqslant-k f(x)$ ．由 $f(x)>0$ 得
$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \leqslant-\frac{k+1}{x} .
$$
两边积分得
$$
\int_{2}^{x} \frac{f^{\prime}(t)}{f(t)} \mathrm{d} t \leqslant-(k+1) \int_{2}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t=-(k+1)(\ln x-\ln 2),
$$
即
$$
\ln f(x) \leqslant \ln f(2)+\ln 2^{k+1}+\ln x^{-(k+1)}
$$
记 $\ln A=\ln \left(2^{k+1} f(2)\right)$ ，则 $\ln f(x) \leqslant \ln \left(A x^{-(k+1)}\right)$ ．所以 $f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：转化已知条件
由已知条件 $(x f(x))' \leqslant -k f(x)$，对左边求导得 $x f'(x) + f(x) \leqslant -k f(x)$。
公式：$(x f(x))' = x f'(x) + f(x)$
提示：注意求导法则：$(uv)' = u'v + uv'$。
步骤 2/7
目标：分离变量
将不等式 $x f'(x) + f(x) \leqslant -k f(x)$ 移项，得 $x f'(x) \leqslant -(k+1) f(x)$。由于 $f(x) > 0$，两边除以 $x f(x)$ 得 $\frac{f'(x)}{f(x)} \leqslant -\frac{k+1}{x}$。
提示：除以 $x f(x)$ 时注意 $x \geqslant 2 > 0$，$f(x) > 0$，不等号方向不变。
步骤 3/7
目标：两边积分
对不等式 $\frac{f'(t)}{f(t)} \leqslant -\frac{k+1}{t}$ 从 $2$ 到 $x$ 积分（$x \geqslant 2$），得 $\int_2^x \frac{f'(t)}{f(t)} dt \leqslant -(k+1) \int_2^x \frac{1}{t} dt$。
公式：$\int \frac{f'(t)}{f(t)} dt = \ln f(t)$，$\int \frac{1}{t} dt = \ln t$
提示：积分限从2到x，注意$f(t)>0$，对数有意义。
步骤 4/7
目标：计算积分结果
左边积分得 $\ln f(x) - \ln f(2)$，右边积分得 $-(k+1)(\ln x - \ln 2)$。因此 $\ln f(x) - \ln f(2) \leqslant -(k+1)(\ln x - \ln 2)$。
公式：$\int_a^b \frac{f'(t)}{f(t)} dt = \ln f(b) - \ln f(a)$
提示：注意积分结果中的对数真数要加绝对值，但这里均为正。
步骤 5/7
目标：整理不等式
移项得 $\ln f(x) \leqslant \ln f(2) - (k+1)\ln x + (k+1)\ln 2 = \ln f(2) + \ln 2^{k+1} + \ln x^{-(k+1)}$。
公式：$-(k+1)\ln x = \ln x^{-(k+1)}$，$(k+1)\ln 2 = \ln 2^{k+1}$
提示：对数运算性质：$a\ln b = \ln b^a$。
步骤 6/7
目标：引入常数A
令 $A = 2^{k+1} f(2)$，则 $\ln A = \ln(2^{k+1} f(2)) = \ln 2^{k+1} + \ln f(2)$。于是 $\ln f(x) \leqslant \ln A + \ln x^{-(k+1)} = \ln(A x^{-(k+1)})$。
提示：常数A与x无关，仅依赖于f(2)和k。
步骤 7/7
目标：取指数得到结论
由于对数函数单调递增，两边取指数得 $f(x) \leqslant A x^{-(k+1)}$，其中 $A = 2^{k+1} f(2)$。
提示：取指数时注意不等号方向不变。
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