中册 4.4 积分估值与积分不等式 第44题
📝 题目
44．设 $f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 二阶连续可导，$f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0, x \in[0,1]$ ．记曲线 $\{(x, f(x)) \mid x \in[0,1]\}$ 的长度为 $L$ ．证明 $L<3$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
由 $f^{\prime \prime}(x)<0, x \in[0,1]$ ，当 $00$ ，当 $\xi
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定极值点存在性
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可导，且 $f(0)=f(1)=0$，由罗尔定理，存在 $ξ \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$，则存在 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。
提示：注意 $f$ 在闭区间连续，开区间可导，且端点值相等。
步骤 2/6
目标：分析单调性
由 $f''(x)<0$ 知 $f'(x)$ 严格递减。因为 $f'(\xi)=0$，所以当 $00$；当 $\xi
公式：导数符号与单调性关系。
提示：注意 $f''<0$ 意味着 $f'$ 递减，结合 $f'(\xi)=0$ 判断符号。
步骤 3/6
目标：写出弧长公式
曲线长度 $L = \int_0^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx$。将积分区间分为 $[0,\xi]$ 和 $[\xi,1]$：$L = \int_0^\xi \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx + \int_\xi^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx$。
公式：弧长公式：$L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx$。
提示：注意被积函数为 $\sqrt{1+(f')^2}$，不是 $\sqrt{1+f'}$。
步骤 4/6
目标：利用不等式放缩
对于任意实数 $t$，有 $\sqrt{1+t^2} \le 1+|t|$。在 $[0,\xi]$ 上 $f'(x) \ge 0$，故 $|f'(x)|=f'(x)$；在 $[\xi,1]$ 上 $f'(x) \le 0$，故 $|f'(x)|=-f'(x)$。因此：
$\int_0^\xi \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx \le \int_0^\xi (1+f'(x)) \, dx$，
$\int_\xi^1 \sqrt{1+[f'(x)]^2} \, dx \le \int_\xi^1 (1-f'(x)) \, dx$。
公式：$\sqrt{1+t^2} \le 1+|t|$。
提示：注意绝对值处理：在 $f'$ 非负时 $|f'|=f'$，非正时 $|f'|=-f'$。
步骤 5/6
目标：计算积分
计算两个积分：
$\int_0^\xi (1+f'(x)) \, dx = \xi + f(\xi) - f(0) = \xi + f(\xi)$，
$\int_\xi^1 (1-f'(x)) \, dx = (1-\xi) - [f(1)-f(\xi)] = 1-\xi + f(\xi)$。
相加得 $L \le \xi + f(\xi) + 1-\xi + f(\xi) = 1 + 2f(\xi)$。
公式：牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f'(x) \, dx = f(b)-f(a)$。
提示：注意 $f(0)=f(1)=0$，代入简化。
步骤 6/6
目标：利用函数值范围放缩
由于 $f(x) \in [0,1]$，故 $f(\xi) \le 1$，从而 $1+2f(\xi) \le 1+2\times 1 = 3$。因此 $L < 3$（严格不等式是因为 $\sqrt{1+t^2} < 1+|t|$ 当 $t \neq 0$，且 $f'$ 不恒为0，故放缩为严格小于）。
公式：函数值域 $f(x) \in [0,1]$。
提示：注意题目要求证明 $L<3$，严格不等式需说明等号不成立。
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