中册 4.5 与积分有关的极限 第1题
📝 题目
1．证明．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0(p>0)$ ．（中南大学 2012 ，新疆大学 2005 ，河北工大 2006（ $p=1$ ）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0,(p>0$ ，是常数）．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：由积分第一中值定理，$\exists \xi \in[n, n+p]$ 使得
$$
\left|\int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x\right|=\left|\frac{\sin \xi}{\xi} p\right| \leqslant \frac{p}{n},
$$
所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} t=0$ ．
方法 2：因为
$$
\left|\int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \int_{n}^{n+p}\left|\frac{\sin x}{x}\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{n}^{n+p} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln \frac{n+p}{n},
$$
而 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \frac{n+p}{n}=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=0$ ．
（2）因为
$$
0<\int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x<\int_{n}^{n+p} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln \frac{n+p}{n},
$$
而 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \frac{n+p}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left(1+\frac{p}{n}\right)=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n}^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目并确定解题思路
题目要求证明两个极限为零，其中积分区间长度固定为$p>0$，积分下限$n$趋于无穷。由于被积函数在无穷远处趋于零，且积分区间长度固定，直观上积分值应趋于零。常用方法包括积分中值定理或放缩法。
提示：注意$p$是常数，与$n$无关。
步骤 2/5
目标：证明第(1)问：使用积分第一中值定理
由积分第一中值定理，存在$\xi \in [n, n+p]$使得
\[
\int_n^{n+p} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\sin \xi}{\xi} \cdot p.
\]
因此
\[
\left| \int_n^{n+p} \frac{\sin x}{x} \, dx \right| = \left| \frac{\sin \xi}{\xi} \right| p \leq \frac{p}{n}.
\]
由于$\frac{p}{n} \to 0$（$n \to \infty$），故极限为0。
公式：积分第一中值定理：$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$，其中$g(x)$不变号。
提示：注意$\sin \xi$的绝对值不超过1，且$\xi \geq n$，因此$\left|\frac{\sin \xi}{\xi}\right| \leq \frac{1}{n}$。
步骤 3/5
目标：证明第(1)问：使用放缩法（另一种方法）
利用$|\sin x| \leq 1$，有
\[
\left| \int_n^{n+p} \frac{\sin x}{x} \, dx \right| \leq \int_n^{n+p} \frac{1}{x} \, dx = \ln\frac{n+p}{n}.
\]
而$\lim_{n\to\infty} \ln\frac{n+p}{n} = \lim_{n\to\infty} \ln\left(1+\frac{p}{n}\right)=0$，故极限为0。
公式：对数函数性质：$\ln(1+\frac{p}{n}) \sim \frac{p}{n}$当$n\to\infty$。
提示：放缩时注意方向，绝对值不等式保证放缩后仍成立。
步骤 4/5
目标：证明第(2)问：使用放缩法
由于$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} < \frac{1}{x}$对$x>0$成立，故
\[
0 < \int_n^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx < \int_n^{n+p} \frac{1}{x} \, dx = \ln\frac{n+p}{n}.
\]
同样地，$\lim_{n\to\infty} \ln\frac{n+p}{n}=0$，由夹逼定理得极限为0。
公式：不等式：$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} < \frac{1}{x}$（$x>0$）。
提示：注意被积函数恒正，因此积分值大于0，可直接用夹逼定理。
步骤 5/5
目标：总结极限为0的结论
综合以上，两个极限均得证：
\[
\lim_{n\to\infty} \int_n^{n+p} \frac{\sin x}{x} \, dx = 0, \quad \lim_{n\to\infty} \int_n^{n+p} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx = 0.
\]
提示：注意第(1)问中两种方法均可，第(2)问只能用放缩法（因为积分中值定理不适用）。
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