中册 4.5 与积分有关的极限 第2题
📝 题目
2．求下列极限．
（1）已知 $f(x)$ 可微，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由积分中值定理得，$\exists \xi \in(x, x+2)$ 使得
$$
\int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t=2 \xi f(\xi) \sin \frac{3}{\xi} \text {, 且当 } x \rightarrow+\infty \text { 时, } \xi \rightarrow+\infty \text {. }
$$
于是 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \mathrm{d} t=2 \lim _{\xi \rightarrow+\infty}\left(f(\xi) \cdot \xi \sin \frac{3}{\xi}\right)=2 \lim _{\xi \rightarrow+\infty}\left(f(\xi) \cdot \xi \cdot \frac{3}{\xi}\right)=6 \lim _{\xi \rightarrow+\infty} f(\xi)=6$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \sin \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t} \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$
$$
=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2 x^{2}}\right)^{x^{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}}} \cdot 2 x-\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x} \sin \frac{1}{\sqrt{x}}\right]=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}
$$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(n) \sin \frac{1}{n}=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \sin \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{x}^{x^{2}}\left(1+\frac{1}{2 t}\right)^{t}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{t}}}-1\right) \mathrm{d} t$
$$
=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2 x^{2}}\right)^{x^{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1\right) \cdot 2 x-\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{x}}}-1\right)\right]=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用积分中值定理
由于 $f(t)$ 可微且 $t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t)$ 在区间 $[x, x+2]$ 上连续，由积分中值定理，存在 $\xi \in (x, x+2)$ 使得
$$\int_x^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \, dt = 2 \xi f(\xi) \sin \frac{3}{\xi}.$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\xi \to +\infty$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b g(t) dt = (b-a) g(\xi)$
提示：注意中值点 $\xi$ 依赖于 $x$，但极限时 $\xi \to +\infty$。
步骤 2/7
目标：计算极限中的等价无穷小
考虑 $\xi \sin \frac{3}{\xi}$，当 $\xi \to +\infty$ 时，$\sin \frac{3}{\xi} \sim \frac{3}{\xi}$，因此
$$\xi \sin \frac{3}{\xi} \sim \xi \cdot \frac{3}{\xi} = 3.$$
严格地，$\lim_{\xi \to +\infty} \xi \sin \frac{3}{\xi} = 3$。
公式：$\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$
提示：注意 $\frac{3}{\xi} \to 0$，所以可以用等价无穷小。
步骤 3/7
目标：代入极限并利用已知条件
原极限为
$$\lim_{x \to +\infty} \int_x^{x+2} t \sin \frac{3}{t} \cdot f(t) \, dt = 2 \lim_{\xi \to +\infty} f(\xi) \cdot \xi \sin \frac{3}{\xi} = 2 \cdot \lim_{\xi \to +\infty} f(\xi) \cdot 3 = 6 \cdot 1 = 6.$$
公式：极限运算法则
提示：注意 $\lim_{\xi \to +\infty} f(\xi) = 1$ 是已知条件。
步骤 4/7
目标：将数列极限转化为函数极限
对于 (2)，令 $x = n$，则 $n \to \infty$ 对应 $x \to +\infty$。由于 $\sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，有
$$\lim_{n \to \infty} f(n) \sin \frac{1}{n} = \lim_{x \to +\infty} f(x) \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_x^{x^2} \left(1+\frac{1}{2t}\right)^t \sin \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt.$$
公式：$\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$
提示：注意 $\sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，但需确认 $\frac{1}{n} \to 0$。
步骤 5/7
目标：应用洛必达法则或积分上限求导
令 $F(x) = \int_x^{x^2} g(t) dt$，其中 $g(t) = \left(1+\frac{1}{2t}\right)^t \sin \frac{1}{\sqrt{t}}$。则 $\frac{1}{x} \int_x^{x^2} g(t) dt$ 是 $\frac{0}{0}$ 型？实际上当 $x \to +\infty$ 时，$\int_x^{x^2} g(t) dt$ 趋于无穷？但我们可以用积分中值定理或直接求导。更简单：考虑 $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_x^{x^2} g(t) dt = \lim_{x \to +\infty} \left[ G(x^2) \cdot 2x - G(x) \cdot 1 \right]$，其中 $G$ 是 $g$ 的原函数？实际上由微积分基本定理，$\frac{d}{dx} \int_a^{h(x)} g(t) dt = g(h(x)) h'(x)$，但这里积分下限也是变量。正确做法：
$$\frac{d}{dx} \int_x^{x^2} g(t) dt = g(x^2) \cdot 2x - g(x) \cdot 1.$$
因此，由洛必达法则（$\frac{\infty}{\infty}$ 型），
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_x^{x^2} g(t) dt = \lim_{x \to +\infty} \left[ 2x g(x^2) - g(x) \right].$$
公式：微积分基本定理：$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt = g(b(x)) b'(x) - g(a(x)) a'(x)$
提示：注意洛必达法则适用条件，这里分母导数 $1$，分子导数如上。
步骤 6/7
目标：计算 $g(x)$ 和 $g(x^2)$ 的极限
首先，$\left(1+\frac{1}{2t}\right)^t = e^{t \ln(1+\frac{1}{2t})} \sim e^{t \cdot \frac{1}{2t}} = e^{1/2}$ 当 $t \to +\infty$。更精确：$\lim_{t \to +\infty} \left(1+\frac{1}{2t}\right)^t = e^{1/2}$。
其次，$\sin \frac{1}{\sqrt{t}} \sim \frac{1}{\sqrt{t}}$ 当 $t \to +\infty$。
因此，
$$g(x) = \left(1+\frac{1}{2x}\right)^x \sin \frac{1}{\sqrt{x}} \sim e^{1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}},$$
$$g(x^2) = \left(1+\frac{1}{2x^2}\right)^{x^2} \sin \frac{1}{x} \sim e^{1/2} \cdot \frac{1}{x}.$$
代入得
$$2x g(x^2) \sim 2x \cdot e^{1/2} \cdot \frac{1}{x} = 2e^{1/2}, \quad g(x) \sim e^{1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0.$$
所以极限为 $2e^{1/2}$。
公式：$\lim_{t \to \infty} (1+\frac{a}{t})^t = e^a$
提示：注意 $g(x^2)$ 中 $\sin \frac{1}{\sqrt{x^2}} = \sin \frac{1}{x}$。
步骤 7/7
目标：类似地处理 (3)
对于 (3)，只需将 $\sin \frac{1}{\sqrt{t}}$ 替换为 $e^{1/\sqrt{t}} - 1$。当 $t \to +\infty$ 时，$e^{1/\sqrt{t}} - 1 \sim \frac{1}{\sqrt{t}}$。因此，类似计算可得
$$\lim_{n \to \infty} f(n) \sin \frac{1}{n} = \lim_{x \to +\infty} \left[ 2x \left(1+\frac{1}{2x^2}\right)^{x^2} (e^{1/x} - 1) - \left(1+\frac{1}{2x}\right)^x (e^{1/\sqrt{x}} - 1) \right] = 2e^{1/2}.$$
公式：$e^u - 1 \sim u$ 当 $u \to 0$
提示：注意 $e^{1/x} - 1 \sim 1/x$，$e^{1/\sqrt{x}} - 1 \sim 1/\sqrt{x}$。
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