中册 4.5 与积分有关的极限 第3题
📝 题目
3．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续可导，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=5$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $t>0$ 时，令 $t x^{2}=y$ ，则 $\displaystyle \mathrm{d} x=\frac{1}{2 \sqrt{y t}} \mathrm{~d} y$ ，
$\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t^{3}} \sin y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y} \sqrt{t}} \mathrm{~d} y}{t^{4}}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t^{3}} \frac{\sin y}{2 \sqrt{y}} \mathrm{~d} y}{\sqrt{t^{9}}}=\frac{1}{9} \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{\sin t^{3}}{\sqrt{t^{3}}} \cdot 3 t^{2}}{\sqrt{t^{7}}}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin t^{3}}{3 t^{3}}=\frac{1}{3}$.
同理 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}=\frac{1}{3}$ ．故 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{t} \sin \left(t x^{2}\right) \mathrm{d} x}{t^{4}}=\frac{1}{3}$ ．
（2）记 $\displaystyle g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t=\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u,(x \neq 0)$ ．显然 $g(0)=\int_{0}^{1} f(0) \mathrm{d} t=0$ ．
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{2 x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{1}{2} f^{\prime}(0)=\frac{5}{2} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量代换化简积分
当 $t>0$ 时，令 $y = t x^2$，则 $x = \sqrt{y/t}$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{2\sqrt{yt}} \mathrm{d}y$。积分限：当 $x=0$ 时 $y=0$；当 $x=t$ 时 $y=t^3$。于是分子变为 $\int_0^{t^3} \sin y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}\sqrt{t}} \mathrm{d}y = \frac{1}{2\sqrt{t}} \int_0^{t^3} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} \mathrm{d}y$。
公式：变量代换 $y = t x^2$
提示：注意积分限的变化，以及 $\mathrm{d}x$ 的表达式要正确。
步骤 2/7
目标：将极限转化为洛必达形式
原极限 $\lim_{t\to 0^+} \frac{\frac{1}{2\sqrt{t}} \int_0^{t^3} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} \mathrm{d}y}{t^4} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\int_0^{t^3} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} \mathrm{d}y}{2 t^{9/2}}$。此时分子分母均趋于0，可用洛必达法则。
提示：注意 $t^{9/2}$ 的指数计算。
步骤 3/7
目标：应用洛必达法则
对分子求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_0^{t^3} \frac{\sin y}{\sqrt{y}} \mathrm{d}y = \frac{\sin(t^3)}{\sqrt{t^3}} \cdot 3t^2 = 3t^2 \frac{\sin(t^3)}{t^{3/2}} = 3 t^{1/2} \sin(t^3)$。对分母求导：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (2 t^{9/2}) = 9 t^{7/2}$。于是极限化为 $\lim_{t\to 0^+} \frac{3 t^{1/2} \sin(t^3)}{9 t^{7/2}} = \lim_{t\to 0^+} \frac{\sin(t^3)}{3 t^3}$。
公式：洛必达法则：$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}$
提示：注意复合函数求导时链式法则的使用。
步骤 4/7
目标：计算极限
利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$\sin(t^3) \sim t^3$，所以 $\lim_{t\to 0^+} \frac{\sin(t^3)}{3 t^3} = \frac{1}{3}$。同理，当 $t\to 0^-$ 时，通过类似代换（注意 $t<0$ 时积分限反向）可得相同结果。因此原极限为 $\frac{1}{3}$。
公式：$\sin u \sim u$ 当 $u\to 0$
提示：注意左右极限的对称性，以及 $t<0$ 时积分限的处理。
步骤 5/7
目标：第二题：变量代换化简积分
令 $u = x t$，则 $t = u/x$，$\mathrm{d}t = \mathrm{d}u / x$。积分限：当 $t=0$ 时 $u=0$；当 $t=1$ 时 $u=x$。于是 $\int_0^1 f(xt) \mathrm{d}t = \int_0^x f(u) \frac{\mathrm{d}u}{x} = \frac{1}{x} \int_0^x f(u) \mathrm{d}u$。
公式：变量代换 $u = x t$
提示：注意 $x$ 视为常数，且 $x\neq 0$。
步骤 6/7
目标：将极限转化为导数形式
原极限 $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \int_0^x f(u) \mathrm{d}u = \lim_{x\to 0} \frac{\int_0^x f(u) \mathrm{d}u}{x^2}$。这是一个 $\frac{0}{0}$ 型极限，应用洛必达法则。
提示：注意 $\int_0^x f(u) \mathrm{d}u$ 在 $x=0$ 时为0。
步骤 7/7
目标：应用洛必达法则并利用导数定义
对分子求导得 $f(x)$，对分母求导得 $2x$，所以极限化为 $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{2x}$。由导数定义，$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = 5$，因此原极限 $= \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2}$。
公式：导数定义：$f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
提示：注意 $f(0)=0$ 的条件，以及 $f$ 在0处可导。
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